|两个极其相似的数论定理,结论却截然不同
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【|两个极其相似的数论定理,结论却截然不同】
你知道吗 , 如果你在一个定理的条件中只改变一点 , 会发生什么?在这里 , 我想向你展示两个非常不可思议的类似的定理 , 它们会让你明白数学中每个数字和每个符号的重要性 。 第一个定理是:
而第二个是:
对于任何非零自然数n , 如果(2^n)-1是一个素数 , 那么n也是一个素数 。
这两个结论是多么的不同 。 那么 , 我们来证明第一条定理 。 定理证明的常见方法之一是矛盾法 。 1. 假设n现在是一个素数 。 因此 , 根据素数定义的否定 , n可以表示为两个数字的乘积:
对于任何非零自然数n , 如果(2^n)+1是一个素数 , 那么n是2的完全幂 。
2. 因此我们可以用a^n-b^n因式分解公式重写原表达式:
3. 由于a大于1而不等于n , 表达式(2^a)-1大于1并且是(2^n)-1的除数 。 因此 , (2^n)-1不是质数 , 根据定理的条件 , 这是错误的 。 矛盾!因此该定理为真 。 现在我们来证明第二条定理 , 使用同样的方法 。 1. 假设n不是2的完全幂 。 因此n可以表示为2^k的乘积 , 其中k为非负整数 , a为奇数:
2. 因此 , 我们可以重写原表达式:
3. 由于(2^n)+1能被2^(2^k)+1整除 , 所以它不是一个素数 。 矛盾!因此n是2的一个完全幂 。 正如你所看到的 , 如果在定理的条件中只改变一个符号 , 你可以得到一个极其不同的结论 。 因此我们应该谨慎对待数学 。
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