|在a+21b=√2条件下求ab的最大值
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主要内容：
【|在a+21b=√2条件下求ab的最大值】本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、构造函数等方法计算ab在a+21b=√2条件下的最大值 。
思路一：直接代入法根据已知条件 ， 替换b ， 得到关于a的函数 ， 并根据二次函数性质得ab的取值范围 。
ab
=a(√2/21-1/21*a)
=-1/21*a^2+√2/21*a
=-1/21(a-√2/2)^2+1/42 ，
则当a=√2/2时 ， ab有最大值为1/42 。
思路二：判别式法设ab=p ， 得到b=p/a代入已知条件关于a的函数 ， 并根据二次函数性质得ab的取值范围 。
a+21b=√2
a+21p/a=√2
a^2-√2a+21p=0对a的二次方程有：
判别式△=2-84p≥0即：
p≤1/42
此时得ab=p的最大值=1/42 。
思路三：三角换元法将ab表示成三角函数 ， 进而得ab的最大值 。
由a+21b=√2 ， 要求ab的最大值 ， 不妨设a ， b均为正数 ，
设a=√2(cost)^2 ， 21b=√2(sint)^2 ， 则：
a=√2(cost)^2b=√2/21(sint)^2代入得：
ab=√2(cost)^2*√2/21(sint)^2
=1/42*(sin2t)^2
当sin2t=±1时 ， ab有最大值=1/42 。
思路四：中值代换法设a=√2/2+t21b=√2/2-t ， 则：
a=(√2/2+t)b=(1/21)(√2/2-t)
此时有：
ab=1/21*(√2/2+t)*(√2/2-t)
=1/21*(1/2-t^2) 。
当t=0时 ， 即：ab≤1/42
则ab的最大值为1/42 。
思路五：不等式法当a ， b均为正数时 ， 则：
∵a+21b≥2√21*ab
∴(a+21b)^2≥84*ab
2≥84*ab
即：ab≤1/42
则ab的最大值为1/42 。
思路六:构造函数法设函数f(ab)=ab-λ(a+21b-√2)
则偏导数f'a=b-λf'b=a-21λ
f'λ=a+21b-√2 。
令f'a=f'b=f'λ=0 ， 则：
b=λa=21λ 。 进一步代入得：
21λ+21λ=√2即λ=√2/42.
则有a=√2/2b=√2/42.
ab的最大值=√2/2*√2/42=1/42 。
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