， 自此 ， 康托尔关于集合论的建立工作基本完成 。
公理集合论：古典集合论建立之后 ， 得到大多数数学家的肯定 ， 从自然数到集合论可以建立起整个数学大厦 ， 集合论成为了现代数学的基石 。希尔伯特、庞加莱（当时的两位数学界的大家）曾在1900年的数学大会上高度赞扬（古典）集合论的重大影响 ， 希尔伯特提出的着名的23个问题中 ， 更是把连续统假设作为第一个问题 ， 可见其对集合论的高度认可 。读者读到这里 ， 可能就会想了：既然古典集合论已经很完善 ， 并且有着重要的数学地位 ， 为什么还会有公理集合论的产生呢？
在数学的世界里 ， 各种理论都是在不断完善发展的 ， 集合论同样如此 。尽管古典集合论解决了当时许多数学问题 ， 但是经过数学家们的研究 ， 古典集合论仍然存在着漏洞 。
1903年 ， 英国数学家罗素提出了着名的“理发师悖论”（规定只给不会给自己理发的理发师 ， 到底该不该给自己理发） ， 紧接着 ， 各种悖论扑面而来 ， 数学家们开始认识到古典集合论的巨大漏洞 ， 间接引发了
第三次数学危机
。既然问题已经出现 ， 就需要解决问题 ， 数学家们纷纷需求解决方案 ， 这就促使了数学家们用公理化方法和数理逻辑去重建集合论 。1908年 ， 策梅洛建立了第一个公理集合系统 ， 经过弗伦迪克、冯诺依曼等人的补充 ， 得到了策梅洛——弗伦迪克公理系统 ， 简称ZF系统 ， 加上选择公理后 ， 又称ZFC系统 ， 一直沿用至今 。从该系统中 ， 可以导出古典集合论中所有的结果 ， 并且排除了罗素悖论等各种已知悖论 。
【集合的由来，元素与集合之间的属于符号的来历？】另外 ， 古典集合论中的连续统假设（CH）、选择公理（AC）在20世纪得到重大突破 ， 1940年 ， 哥德尔证明了CH、AC对于ZF系统的相容性 。1963年 ， 科恩证明了CH、AC相对于ZF系统的独立性 ， 即连续统假设在该系统中无法证明 ， 与平行公设不可证相同 ， 也就是说 ， 可以同时存在使CH成立与不成立的系统 ， 正如欧式几何与非欧几何一样 。哥德尔曾经提出着名的哥德尔不完备定理 ， 打破了希尔伯特将数学公理化的愿望 ， 任何兼容性的体系 ， 无法用于证明它本身的兼容性 。也就是说 ， 在公理集合论中 ， 总会存在属于该系统本身 ， 却又无法用该系统去证明的定理、假设等 。
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