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东北师范大学|旋转函数的图形—一个美丽的公式


东北师范大学|旋转函数的图形—一个美丽的公式
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你有没有观察过函数f(x)=x^2的图形 ， 并注意到如果你把它顺时针旋转90? ， 你会得到根号x和-根号x的并集？
但这是为什么呢？
回顾一下 ， 当只为正数x定义时 ， x^2和根号x是彼此可逆的 。 那么 ， 如果我们将某个函数的图形旋转一定的度数θ ， 一般会发生什么呢？
如果我们能找到一个简单的公式来描述这种关系 ， 然后我们可以在其他函数上使用 ， 那是很不错的 。
首先要注意的是 ， 尽管我们可能一开始就有一个函数 ， 但我们不能保证在旋转后也能得到一个函数 。 回顾一下 ， 一个函数每一个输入只有一个输出 。
我们对这个问题的看法是 ， 将某个函数f的图形上的一个点 ， 比如（t ， f(t)）视为一个向量 ， 然后用旋转矩阵将其简单地旋转某个角度θ 。
如果我们用（x ， y）来表示这个操作的输出向量 ， 那么我们就有如下的结果 。
当然 ， 这里的x和y取决于θ、t和f ， 我希望你能理解这种非正式的表示方法 。
将右侧的矩阵积相乘 ， 并从向量中提取相应的坐标方程 ， 我们可以得到：
现在 ， 通过在第一个方程中同时乘以cos(θ)在第二个方程中同时乘以sin(θ)然后上下相加 ， 我们得到cos(θ) x + sin(θ) y = t 。


在这里 ， 我们用了这个方法 。 cos2 θ + sin2 θ = 1 ， 适用于所有实数θ 。
这只是单位圆内的毕达哥拉斯定理 。
现在我们可以用这个表达式代替上面第二个方程式中的t ， 得到：
使用上述三角函数的毕达哥拉斯定理进行一些标准推导 ， 我们可以得到：
请注意 ， 这最后一个表达式可以用行列式和内积以更简洁的方式写出来 。
这个方程决定了函数f旋转θ度对应的曲线 。 简单而美丽 。
例子在上面的例子中 ， f(x)=x^2 ， 让我们试着把这个函数顺时针旋转90度 。
那么cos(θ)=0 ， sin(θ)=-1 ， 我们得到：
请注意 ， 方程x=f(-y)一般来说是将f旋转-90度的公式 。
此外 ， 如果f是偶函数 ， 也就是f(-x) = f(x) ， 那么f旋转-90度对应的是f在直线g(x) = x上的反射 ， 因此我们得到了\"逆\"曲线 。
如果我们将y=1/x旋转45°（逆时针） ， 情况如何？
让我们看一下1/x的图形 ， 注意y=0和x=0的渐近线 。
  • 1/x的图形
使用上面的旋转公式 ， 并做一些整理 ， 我们可以得出y-x=2/（y+x） 。
如果我们乘以x+y（假设x+y≠0） ， 然后化简 ， 得到y^2=x^2+2 。
这条曲线如下图所示 。
  • 1/x的旋转45?图形
现在的渐近线是y=x和y=-x ， 这正是1/x的渐近线旋转45°的结果 。
有趣的是 ， 通过旋转函数f（x）=1/x ， x>0 ， 我们得到函数g（x）=根号（x^2+2） 。 它们之间似乎没有什么关系 ， 但它们却以这种方式相关 。
【东北师范大学|旋转函数的图形—一个美丽的公式】

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