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函数|闵嗣鹤先生教数学的气场( 二 )


听到闵先生推荐辛钦的那一刻 ， 我有点曾经押对了宝的感觉 ， 可想起当时苦读了大约一个星期 ， 硬是什么新的东西都没有读懂 ， 又不免“细思极恐”起来：明明凭运气找对了书 ， 可就是读不下去！这可怎么是好？
幸亏不久 ， 这“当头一棒”就被闵先生润物无声的滋养化解了 ， 时间点是他给我们讲函数的“极限”概念的时候 。 原来 ， 开课约莫个把月的时候 ， 当闵先生按部就班一直波澜不惊地给我们讲课讲到“极限”概念的时候 ， 形势开始明朗起来 。
设y=f(x)是一个一元实函数 ， 这里x和y都是实数 ， x是自变量 ， y是因变量 ， f表示从x到y的函数关系 。 数学里面 ， 许多情形要考虑当自变量x趋于某个固定的值x0时 ， 函数值f(x)趋向什么的问题 。 如果函数值f(x)趋向某个实数a ， 就说当自变量x趋于x0时 ， f(x)的极限是a 。 如果这点做不到 ， 就说当自变量x趋于x0时 ， 函数值f(x)没有极限 。
这里 ， 关键是如何刻画f(x)“趋向”a 。 趋向的数学意义 ， 就是要多么接近就会多么接近 。 具体来说：任给一个表征函数值与a的距离要求的正数ε（念艾普西龙） ， 都可以找到x与x0的某个距离要求δ（念德尔塔） ， 使得只要x与x0的距离小于δ ， 函数值f (x)和a的距离都不大于ε 。
合起来 ， 关于函数的极限 ， 通常就用上述所谓“ε-δ方法”来确认：如果对于任给的正数ε ， 都可以找到正数δ ， 使得对于所有与x0的距离小于δ的自变量x ， 函数值f(x)与a的距离都小于ε ， 我们就说当自变量x趋于x0时 ， 函数f(x)的极限是a 。
极限概念描述的是一种无限逼近的过程 ， 越到后来越接近 ， 要怎么近 ， 就怎么近 。 这个过程在x离开x0还比较远的时候 ， 是无所谓的 ， 关键是当x越来越接近x0的时候 ， f(x)要越来越接近a 。 具体来说 ， 要不超过任意的ε那么远 ， 总可以找到一个δ ， 使得x与x0接近到不超过δ以后函数值与a的距离都不超过ε那么远 。
基于先前谆谆诱导的精确铺垫 ， 当“任给ε＞0 ， 都可以找到一个δ＞0 ， 使得当x与x0的距离不超过δ时 ， f(x)与a的距离都小于ε ， ……”这样一串话从闵先生的口里清楚认真地慢慢讲出来的时候 ， 我觉得 ， 这样的语言好机敏呀 ， 真是太漂亮啦 。 几乎是马上 ， 极限的概念就比较准确牢靠地在我头脑里树立起来了 。
想起开学以来因为无从入手 ， 我从未做过预习 ， 只是非常幸运地能够一直保持着信任和愉快的心情把闵先生说的每一句话都听进去 ， 极限的概念就这样顺利地在我头脑里扎根了 。 这让我十分开心 。 不久我们更知道 ， 不论是微分学还是积分学 ， 都是用极限方法建立起来的 。
对于闵先生的教学 ， 我是虽不能至 ， 心向往之 。 自感有点心得 ， 就要身体力行 ， 以至于接近半个世纪以后 ， 我还会跟我的学生们说 ， 上我的一些课我不建议预习 。 我追求的是当堂理解当堂消化的教学 。 这一切 ， 就是出于闵先生的样板 。
后来的学习说明 ， 极限的概念比较快能够学好的话 ， 后续的学习通常不会再有太大的困难 。 闵先生当然不是头一个教学“ε-δ”方法的老师 ， 但是能够波澜不惊地把“ε-δ”方法讲得那么容易被接受 ， 则完全是功力的体现 。
形象上就是老老实实一板一眼地讲课 ， 没有抑扬顿挫 ， 更不会眉飞色舞 ， 但是闵先生的课 ， 却让我们大家受益终身 。 我不知道怎样来概括先生的教学是好 ， 只觉得入学以来一个多月 ， 随着同学们对老师的感受和传言越来越多 ， 闵先生仿佛有一股强大的气场 ， 让钦佩先生的我们 ， 对先生为我们精心准备的一切 ， 都变得容易接受 。 回过头来说 ， 我虽然碰巧找到辛钦的《数学分析简明教程》 ， 也只有当闵先生在课上把我们引进数学分析的门了 ， 这本书才变得让我越读越有劲 。

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