题目|欧拉多面体公式的神秘面纱( 二 )
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总结是高效的学习方式
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题目
到此为止 ， 本题目的分析全部结束 ， 本期我们分享的这道题选自《2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练——数学试题》的第20题 ， 属于立体几何的范畴 ， 它属于那种新概念题型 ， 这类题目是题海战术的克星 ， 真正考察学生的学习和理解能力 。 其实这道题目考察的核心还是在于“多面体欧拉公式” ， 而这个公式在高中课本上是出现过的 ， 应该是在选修2-2第一章的一道例题中出现过 ， 可能很多人并没有太过重视 ， 考试的时候可能就会卡住 ， 很难得分 。 所以说这道题目并没有超出课本的范围 ， 只是大家可能只关注刷题 ， 而忽略了最根本的东西——课本 ， 所以就会觉得这道题不容易做出来 。
揭开多面体欧拉公式的面纱
今天我的分享其实核心还是给大家讲述“多面体的欧拉公式” ， 当你真正了解了欧拉公式以后 ， 这道题目也就没有什么难度了 ， 基于欧拉多面体定理来审视这道题目 ， 就有一种拨云见日的感觉 ， 豁然开朗 。 关于欧拉公式的证明 ， 我讲述了三种方法 ， 分别为：立体图到平面图的转化法、多面体内角和不变法、数学归纳法 。 在证明过程中都或多或少用到立体几何的空间思维 ， 而这种题你永远不可能用建立空间直角坐标系的方法去处理 ， 所以立体几何的本质还是在于空间思维 ， 没有了空间思维立体几何中的那种空间美感也就不复存在了 。
在比较中学习和感受
对比3种证明方法 ， 不难发现每一种证明都有其独特的魅力 ， 但都没有脱离立体几何的空间思维 。 证明方法1主要关注的是立体图到平面图的转化以及平面图的裁边处理过程 ， 更多的关注动态变化引起的顶点数、棱数和面数的变化 ， 根据变化以及初始状态和结尾状态进行具体分析；证明方法2主要是以多面体的各面内角和为一个中间变量 ， 分别从立体图和平面图两个角度出发进行分析 ， 最终殊途同归 ， 导出欧拉公式；证明方法3主要是采用数学归纳法的思想 ， 假设当V = k时公式成立 ， 分析V = k + 1时是否满足 ， 通过对多面体进行收缩将顶点数为k和k+1两种情况联系起来进行分析 ， 最终证明欧拉公式 。 每一种方法关注点不同 ， 分析思路不同 ， 但都有其价值 。 坐标系加向量是处理立体几何问题的标准解法 ， 但也不是万能的 ， 且缺少做题过程中的空间体验感 ， 大家有时间还是多多体会那些真正从空间思维出发处理立体几何问题的方法 ， 至少你可学到很多巧妙的思维 ， 这对于以后的学习都是很有帮助的！今天的分享到此结束 ， 感谢大家的阅读 ， 希望今天的分析对大家会有帮助 ， 我们下期再见 。
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关于这篇文章
这篇文章是我的“投稿”内容 ， 因为我也在做自己的公众号 ， 而且我觉得“哆嗒数学网”这个公众号做的很棒 ， 我很早就关注了！一方面我的投稿可能给“哆嗒数学网”增添一份点缀；另一方面也算是我才能展现的一个机会！
我目前是西安交通大学的一名大学生 ， 我也在做一个公众号——数学风铃 。 这个公众号是我课余时间分享知识的一个平台 ， 我会分享高中数学（目前）的典型例题 ， 解题方法 ， 数学思想 ， 如果你感兴趣 ， 可以支持我的创作 ， 谢谢！
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