远见|中考临近，有远见的学霸，都在偷偷做这种题( 二 )
如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
文章插图
考点分析：翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
题干分析：
（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而
判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。
（3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求出FO，从而可得出FG的长度。
折叠本质上是轴对称，要顺利解决矩形折叠问题，首先要搞清折叠前后变与不变的量，特别是图形折叠前后图形的形状不变，利用轴对称性，可以转化为相等的角，相等的线段。
其次能善于把要求的边、已知的边、能表示的边集中在某一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解，进一步培养学生的想象力和创造力。在解折叠问题时，还要结合勾股定理，相似三角形等内容，如果同学们都掌握了这些注意点，那么今后解折叠问题就不会束手无策了。
矩形以其丰富的特性已经成为中考数学的命题热点，尤其与折叠的结合，形式新颖，结构独特，蕴含着丰富的数学知识和思想，让矩形变得更加重要，此类题型对培养学生的识图能力和灵活运用数学知识解决问题的能力都有非常重要的作用。
记住一点：解决这类问题的关键是要弄清折叠前后图形的对应关系，它主要考查点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、解析式等问题。
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