数学|一道1957年高考数学真题，解方程组，难度不大，但错误率却很高数学

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在如今的高考中，解方程已经很少单独出题了，但是在以前的高考中，解方程一直是考试的重点。本文就和大家分享一道1957年高考数学解方程组的真题。这道题看起来难度并不大，但是错误率却很高，只因不少同学都忽略了两个知识点。
【数学|一道1957年高考数学真题，解方程组，难度不大，但错误率却很高】
我们先来看一下一些同学的思路和解法。

要解这个方程组，首先需要对两个方程进行对数和指数的运算。
根据对数的加法法则，即logaM+logaN=logaMN ，可将第一个方程变形得到：(2x+1)(y-2)=10 ，展开后得到：2xy-4x+y-12=0 。
根据同底数指数幂的运算法则，即a^m·a^n=a^(m+n) ，可将第二个方程变形为：xy=x+y 。
因为xy=x+y ，所以y=x/(x-1) ，代入第一个方程变形后的式子并整理可得：2x^2+7x-12=0 。此时用求根公式解出x的值，再进一步代入y=x/(x-1)解出y的值就得到了方程组的解。
上面是不少同学的解法，但是很不幸的是上面的解法是不对的，而且有两个很明显的错误。
一是对第一个方程的处理，直接得到了(2x+1)(y-2)=10的式子，但是却忽略了对数的真数部分必须为正数的要求，即少了2x+1＞0和y-2＞0这一对限制条件。
二是由xy=+y得到y=x/(x-1)时，忽略了x-1≠0的条件，也就是说必须分类讨论才完整。
这道题的正确解法应该是怎么样的呢？其实只需要对上面的错误解法进行优化即可。
首先还是需要进行变形，变形的方法与前面错误做法差不多，只是再加上2x+1＞0和y-2＞0这两个条件。这样第一个方程才有意义。
其次在消元的时候避开讨论。那应该怎么做呢？先用第一个方程变形得到的方程减去第二个方程变形后方程的2倍，即可得到：2x-3y+12=0 。此时可以用x表示y ，即y=2x/3+4 。这样做的好处就在于不需要进行分类讨论，直接计算即可。
接下来将y=2x/3+4代入xy=x+y中，整理后得到：2x^2+7x-12=0 ，解得x=(-7-√145)/4(由2x+1＞0可以得到x＞-1/2 ，所以这个x的值要舍去) ，或者x=(-7+√145)/4 。然后将得到的x的值代入y=2x/3+4 ，即可得到y=(17+√145)/4 。
整体来说，这道题作为高考题的难度并不算大，但是一些同学在解题过程中容易犯下两个错误从而导致丢分，其实也是基础知识掌握不牢固所致。比如对数的真数为正数，再比如解方程后验根等等。
这道题就和大家分享到这里，如果是你，你能得满分吗？

数学|一道1957年高考数学真题，解方程组，难度不大，但错误率却很高

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