怎样证明0的阶乘是1 0的阶乘等于1,1的阶乘也等于1,为啥0不等于1呢

从阶乘的定义开始,我们可以在数学上证明0!=1 。在排列组合领域,通常给出的解释通常是,只有一种方法可以排列0个物体,或者数学家们发现了0!=1而不是0!=0更方便,更有用 。让我们先来看看什么是阶乘的定义 。一个非负整数n的阶乘,用n!表示,是所有

怎样证明0的阶乘是1 0的阶乘等于1,1的阶乘也等于1,为啥0不等于1呢

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从阶乘的定义开始,我们可以在数学上证明0!=1 。在排列组合领域,通常给出的解释通常是,只有一种方法可以排列0个物体,或者数学家们发现了0!= 1而不是0!= 0更方便,更有用 。
让我们先来看看什么是阶乘的定义 。
一个非负整数n的阶乘,用n! 表示,是所有小于或等于n的正整数的积 。
  • n!=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)
这就得到了一个递归关系 。
  • n!=n (n-1)!

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排列
排列是一个集合中元素的唯一和特定的顺序 。例如,包含三个元素的集合{a, b, c}有六种排列方式:
  • {a, b, c}, {a, c, b}, {b, c, a}, {b, a, c}, {c, b, a} 和 {c, a, b} 。
从上面我们可以看出,3!=6 。事实上,一个有四个元素的集合有4!=24个排列方式,一个有五个元素{a,b,c,d,e}的集合有5!=120个排列方式 。因此,思考阶乘的另一种方式是设n是一个自然数,n!就是一个有n个元素的集合的排列数量 。
以类似的方式,一个有两个元素的集合{a,b},有2!=2个排列组合,即{a,b}和{b,a} 。有一个元素{a}的集合,有1!=1种排列组合,因为它只能以一种方式排序 。
一个不包含任何元素的集合被称为空集 。对于一个零元素的集合,可以有多少种排序方式?
我们已经知道,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,…… 。现在让我们从后向前看,如何从5!=120中得到4!=24,以此类推 。可以清楚地看到:
  • 5!/5=24
  • 4!/4=6
  • 3!/3=2!
  • 2!/2=1!
因此,0!=1!/1 。从理论上讲,当n为有理数时,应该能够算出n阶乘的值 。例如,什(3/2)!是多少?
伽马函数(gamma函数,γ函数)
定义 。设z是一个复数 。伽马函数Γ(z)在(z)>0(半个复平面)中的定义为
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这个积分在(z)>0时收敛 。伽马函数的一个基本属性由以下命题给出:
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上述命题的证明非常简单,可以用分部积分法完成 。
在1处对伽马函数进行求值,我们发现:
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并使用上述命题,我们得到:
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由此可见,对于所有正整数n:
怎样证明0的阶乘是1 0的阶乘等于1,1的阶乘也等于1,为啥0不等于1呢

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【怎样证明0的阶乘是1 0的阶乘等于1,1的阶乘也等于1,为啥0不等于1呢】伽马函数推广阶乘乘积的能力在数学的许多领域都有应用,例如,在组合学、概率论和幂级数的计算 。

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