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重心的性质 是什么？

生活百科重心


重心的性质 是什么？

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重心的几条性质 ：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均 。
5、重心是三角形内到三边距离之积最大的点 。
6、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2) 。
7、在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3 。
8、从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)为半径的圆周上 。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2 。
数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理 。
确定重心位置的方法：
1.组合法：
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的 。
2.负面积法：
如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积） 。
3.实验法（平衡法）：
如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定 。主要包括悬挂法和称重法 。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z2）/3 。
形状不规则、质量不均匀物体重心的确定
(1)悬挂法
只适用于薄板（不一定均匀） 。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心 。
(2)支撑法
只适用于细棒（不一定均匀） 。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心 。
一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置 。
(3) 针顶法
同样只适用于薄板 。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心 。
与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了 。
(4)用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀）
用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来） 。而后用同样的方法作另一条线 。两线交点即其重心 。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小 。(等边三角形）重心是三角形内到三边距离之积最大的点 。
【重心的性质 是什么？】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。
证明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点 。EC、FB交于G 。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH‖BF交AC于H 。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH‖BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
其他
1、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 。
2、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均 。
3、重心是三角形内到三边距离之积最大的点 。
4、三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2) 。

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