首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy/Δx的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商 。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚 。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小” 。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零 。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望 。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度 。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础 。所谓 an=A，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an－A|<ε恒成立” 。
这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系 。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用 。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观 。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究 。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势 。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律 。
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