在线性代数中:可逆矩阵一定是方阵吗?


在线性代数中:可逆矩阵一定是方阵吗?

文章插图
一般来说,可逆矩阵一定是方阵 。
为什么是“一般来说”呢?
对于不是方阵的矩阵,我们可以定义它的“广义逆” 。
不过,如果是本科生的线性代数课程,可逆矩阵一定是方阵 。
线性代数范围内可逆矩阵是对方阵而言的
另外还有 左逆和右逆的概念
即当A,B 分别为 m*s,s*m 的非零矩阵,且 AB=Em 时,
称A右可逆,B为A的右逆
证明矩阵可逆的方法如下:
1、矩阵的秩小于n,那么这个矩阵不可逆,反之可逆 。
2、矩阵行列式的值为0,那么这个矩阵不可逆,反之可逆 。
3、对于齐次线性方程AX=0,若方程只有零解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆 。
4、对于非齐次线性方程AX=b,若方程只有特解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆 。
逆矩阵:设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E 。则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵 。注:E为单位矩阵 。
定义:一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异的,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E 。并称B是A的一个逆矩阵 。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵 。A的逆矩阵记作A-1 。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵 。
2、(唯一性)如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的 。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A 。记作(A-1)-1=A 。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律 。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C 。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆 。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵 。
证明:
1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵 。设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C 。
【在线性代数中:可逆矩阵一定是方阵吗?】2、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等 。
3、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等 。
4、矩阵A可逆,有AA-1=I 。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I5、由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T 。
而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T 。1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。得B-C=O,即B=C 。

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