1991年6月，鄂尔多斯在剑桥大学任教 。
1953年，克劳斯·罗斯开始证明鄂尔多斯等差数列的猜想 。三年后，在一项帮助他赢得1958年菲尔兹奖的工作中，他建立了一个密度函数，可以确保算术三元组的存在 。它的密度并没有鄂尔多斯猜测的那么低，但是随着级数越来越长，数值趋近于零 。罗斯定理意味着一个序列的密度最终会低于1%，然后低于0.1%，然后低于0.01%...只要密度足够慢地低于这些阈值，序列就一定包含等差数列 。
Roth的方法依赖于这样一个事实，即它所选择的密度为“项”的数列中，大部分含有等差数列，它们含有足够多的不同数对，而这些数对的中心值也属于该数列，这样就出现了等差三联体 。
棘手的地方在于如何将这个属性从“最”推广到“所有”系列，甚至那些结构都尽量避免等差数列 。
基于一个高度结构化的序列，Roth想到用傅里叶变换来绘制其“谱”，从而提取出序列结构 。这可以探测到序列中的强重复模式，也是x光片涉及的数学知识和射电频谱的底层技术 。
有些频率比其他频率显得更强烈，这些变化突出了模式本身 。例如，强频率可能表示序列包含更多奇数 。如果是这样，你只需要把重点放在奇数上，这样你就可以得到比一开始更密集的集合 。罗斯证明，经过有限的蒸馏，可以得到一组足够密集的数，它们包含了等差数列 。
在过去的半个世纪里，Roth的方法激发了解析数论领域的许多发展 。斯坦福大学数学教授雅各布·福克斯(Jacob Fox)表示，“这些都是非常有影响力的想法 。」
从纸牌游戏中寻找等差数列
Roth的观点只对初始稠密的数集有效，否则反复蒸馏只会使数集衰变 。其他数学家也逐渐发现了一些方法，可以从Roth的方法中得到更多，但是无法解决鄂尔多斯的密度问题和等差数列的猜想 。福克斯说，“这似乎是一个难以跨越的坎 。」
2011年，Katz和Michael Bateman发现了一种用更简单的设置来克服上述障碍的方法:在设置的纸牌游戏中，找到与三和弦模式匹配的纸牌 。他们发现，有一种准确的方法可以将匹配的集合三元组视为等差数列，就像在整数序列中一样，你可以问放下卡片的哪一部分，以确保至少找到一个三元组 。
这个问题是整数序列对应问题的简化模型，因此数学家们希望贝特曼和卡茨的发现能够为证明鄂尔多斯的等差数列猜想提供突破口，特别是在结合其他最近的发展之后 。
贝特曼和卡茨的论文发表后不久，高尔斯就启动了一个大型在线合作项目——Polymath，进行这样的尝试 。
然而，这个项目很快就搁浅了 。“这需要很大的技术能力，这个项目比较适合一两个长期坚持的人 。”高尔斯说 。
幸运的是，Bloom和Sisask出现并尝试了 。起初，他们被鄂尔多斯和等差数列猜想中的技术之美所吸引，开始单独思考猜想 。"这是我最先参与的研究课题之一. "西萨克说 。
2014年，布鲁姆和西萨克联手 。2016年，他们以为自己得到了解决方案 。布鲁姆甚至在一次讲座中宣布了结果，但后来发现其中一些论点站不住脚 。于是他们继续努力，深入探索贝特曼和卡茨方法的内在原理，最终提出了新的观点，可以把他们的观点从集卡转移到整数范畴 。
卡茨说，两人发表的新论文似乎“万事俱备” 。“我不相信他们以前的判断，但我相信这次的结果 。」
福克斯认为布鲁姆和西萨克的工作是“一项伟大的成就” 。他和其他数学家渴望探索这篇新论文中的技术是否可以应用于其他问题 。“我认为这种方法将产生巨大的影响，”福克斯说 。
当然，这项工作还远远没有完全证明鄂尔多斯等差数列猜想 。Bloom和Sisask只证明了算术三元组的部分，没有证明更长的序列 。
即使解决了算术三元组的问题，许多数学家仍然把鄂尔多斯-等差数列猜想视为“红鲱鱼”(即为了分散注意力而提出的无关事实或论点) 。很难证明鄂尔多斯的密度能保证算术三元组的存在 。数学家们怀疑使这种保证无效的密度可能更低，它可能只比Behrend为避免等差数列而构造的几个集合的密度高一点点 。
“我们没有完全解决这个猜想，但我们只是对它有了更多的了解 。”布卢姆说 。
福克斯说，布鲁姆和西萨克可能已经尽了最大努力来推进目前的方法 。“我们需要真正的新工具来更好地挖掘新事物 。”福克斯说 。但他也说:“现在可能还不是故事的结尾 。」
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