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既是质数又是合数的数 质数数列

质数合数又是

质数序列(既是质数又是复数的数):16 。专业机器的心脏
选自广达杂志
作者:Erica Klarreich
机器心脏编译
编辑:恶魔
在证明著名的鄂尔多斯-等差数列猜想的道路上，数学圈可能又前进了一步 。
等差数列猜想，又称Erd?s-Turan猜想，是关于调和发散数列的等差子列的一个数论猜想，由匈牙利数学家erd?s·帕尔和沃尔夫奖数学奖获得者帕尔·特兰·n共同提出
这个猜想的内容是:
鄂尔多斯猜内容 。(来源:维基百科)
2004年，陶哲轩和本·格林证明了这个猜想的弱化版本 。
最近，托马斯·布鲁姆(Thomas Bloom)和奥洛夫·西萨克(Olof Sisask)两位数学家解决了这个著名猜想的第一部分，即无限整数序列中必须包含一个长度至少为三(如26，29，32)的等差数列 。
鄂尔多斯一生提出了成千上万个问题，但其中包含“等差数列”的问题是他一生中最喜欢的 。
剑桥大学数学教授蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)说:“我想很多人把这个猜想视为鄂尔多斯的第一号难题 。他是1998年菲尔兹奖的得主，花了很多时间试图证明这个猜想 。“令人高兴的是，一些加法投资组合研究人员对探索这一猜想感兴趣 。」
一般来说，序列越密，越有可能包含等差数列 。因此，鄂尔多斯提出了一个简单的序列密度检验:求序列中所有数的倒数和 。如果有足够多的数使得倒数和发散，鄂尔多斯怀疑数列应该包含任意长度的等差数列，比如算术三元组、四元组等等 。
最近剑桥大学的Thomas Bloom和斯德哥尔摩大学的Olof Sisask发表论文，证明了这个猜想适用于算术三元组(如5，7，9) 。他们证明了只要一个数列中所有元素的倒数和散度，就一定包含无穷多个算术三元组(即三个数的等差数列) 。
托马斯·布鲁姆和奥洛夫·西萨克
“这个发现是这么多年来的一个标志性事件，是一个重大事件 。”加州理工学院的Nets Katz教授说 。
【既是质数又是合数的数 质数数列】素数集合的倒数和是发散的 。20世纪30年代，Johannes van der Corput利用素数的特殊结构，证明了它们确实包含无穷多个算术三元组(比如17，23，29) 。
而Bloom和Sisask的新发现，意味着在证明素数序列包含无限个三元组时，不需要掌握素数的唯一结构 。你只需要知道，素数的个数足以使它们的倒数和散度，这是几个世纪前数学家就发现的 。
牛津大学数学研究所高级研究员汤姆·桑德斯在电子邮件中说:“布鲁姆和西萨克的研究结果表明，即使素数的结构与过去完全不同，它们仍然可以保证有无穷多个等差数列 。」
Bloom和Sisask发表的论文长达77页，需要数学家花一些时间和精力仔细阅读和审阅 。然而，许多人乐观地认为他们的证明是正确的 。“这个证书真的很体面 。NetKatz说，早期的工作为这一结果奠定了基础 。
布鲁姆定理和西萨克定理表明，只要数列足够密集，就会出现一定的模式 。这一发现符合莎拉·佩卢斯(Sarah Peluse)在牛津大学数学领域的基本口号:“完全无序是不可能的 。(这句话最初出自数学家西奥多·莫茨基 。)
覆盖“密度”
只要级数足够稀疏，让它不含等差数列是很简单的 。例如，对于序列1，10，100，1，000，10，000，...(它的倒数和是1.11111...).这些数字的密度下降得如此之快，以至于你永远找不到长度为3的算术级数 。
你可能会想，有没有不含等差数列的非常稠密的数集？
可以从头开始试，让数列中的所有数字都不能形成等差数列 。最后，序列1、2、4、5、10、11、13、14，...乍一看似乎密密麻麻，但是随着数字越来越大，数列就变得非常稀疏 。比如到了20位数，数列中出现的数字只有0.000009%左右 。1946年，Felix Behrend提出了更密集的例子，但它们很快变得稀疏 。当数字达到20位数时，只有0.001%的数字出现在数列中 。
现在让我们看看另一个极端 。如果你的数列包含几乎所有的整数，那么它一定包含等差数列 。
但是在这两个极端之间是一个广阔而神秘的中间地带 。级数的稀疏到什么程度，还能保证数集包含等差数列吗？
鄂尔多斯提供了一个可能的答案 。他认为倒数和可以用来揭示“密度”:数字N最大的序列的密度至少接近1/N位数 。也就是说，数列越来越细是可以的，只要细化的速度足够慢:如果数列中最大的数是5位数，密度至少是1/5；如果数列中有20位数，则密度至少为1/20，以此类推 。
当这个密度条件满足时，Erdos猜想级数应该包含无穷多个任意长度的等差数列 。

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