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大家好！本文和大家分享一道2002年上海高考数学真题 。 这道题看着挺吓人 ， 又是三角函数又是二次函数 ， 其实透过外表看本质 ， 这道题其实非常简单 ， 就是纸老虎 。 接下来我们就来一起看一下这道题 。
先看第一问：求二次函数的最值 。
二次函数的最值是高中数学的重点 ， 也是难点 。 二次函数的最值问题的常考题型可以分为三类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间 。
定轴定区间：这是二次函数最值问题中最简单的一类 ， 也就是说已知函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围 ， 求函数的最值 。 这类型题目只需要画出函数的图像就可以很轻松地求解 。
定轴动区间：即二次函数的开口方向、对称轴已经确定了 ， 但是x的取值范围是变化的 ， 比如x在[tt+1
上 ， x就会随着t的变化而变化 。 这类型题目也是先画出函数图像 ， 再左右移动x所在的区间 ， 找出取最值的情况 。
动轴定区间：即二次函数的开口方向和x的取值范围确定了 ， 但是函数的对称轴在变化 。 这种情况下 ， 先画出x所在的区间 ， 然后把函数图像左右移动 ， 从而找出取最值的条件 。
上面三种情况可以归结为一个方法：先画出确定的因素 ， 再将不确定的因素进行左右移动 ， 从而找出取最值的条件 。
回到题目 ， 由于已经告诉了θ的值 ， 即已知tanθ的值 ， 代入原函数后 ， 原函数的解析式也就确定了 。 又x的取值范围也是确定的 ， 所以这就是二次函数“定轴定区间”的最值问题 。 这种情况下 ， 可以根据图像求解 ， 也可以根据对称轴与x所在区间的关系直接求解 。
由于f(x)的开口向上 ， 所以越靠近顶点的函数值也就越小 ， 而对称轴刚好在x所在区间内 ， 所以最小值就是顶点的函数值 。 同理 ， 离顶点越远的点函数值越大 ， 所以当x=-1时 ， f(-1)最大 。
再看第二问 ， 求θ的取值范围 。
本问主要考查的是二次函数的单调性 ， 而二次函数的单调性与开口方向和对称轴息息相关 ， 二次函数的单调性在对称轴两边是相反的 。
要使f(x)在[-1√3
上是单调函数 ， 那么f(x)的对称轴就不能在这个区间内 。 也就是说对称轴要小于等于-1或者大于等于√3 ， 即-tanθ≤-1或-tanθ≥√3 ， 即tanθ≥1或tanθ≤-√3 。
接下来根据正切函数的性质及题干中给出θ的取值范围 ， 综合求出最终θ的范围 。
【数学|2002年上海高考数学真题，看着挺吓人，其实就是纸老虎】这道题的难度其实并不大 ， 只是形式上看起来比较复杂 ， 只要细心一点得满分问题不大 。
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