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半圆的面积公式小学 半圆形面积公式( 二 )

公式面积半圆形


【半圆的面积公式小学 半圆形面积公式】众所周知，几何中有三个著名的问题，它们是:
1.角度三等分，把给定的角度分成三个等角问题；
2.将立方体加倍，求体积是已知立方体两倍的立方体的边长；
3.把圆变成正方形，找到与给定圆面积相同的正方形问题 。
其中，圆转方的问题就源于此 。
公元前5世纪，当希波克拉底成功地将一条名为“新月”的曲线绘制成正方形时，全世界都目瞪口呆 。
图8
由于希波克拉底在计算新月面积上的成功，希腊数学家对“化圆为方”的问题非常乐观，仿佛胜利的曙光就在眼前 。据说希波克拉底本人声称他可以计算圆的面积 。然而，戏剧性的是，在2000多年后的1882年，德国数学家费迪南德·林德曼(1852-1939)成功而清晰地证明了将圆变成正方形是不可能的 。这真是一个漫长、曲折、戏剧性的结果 。
林德曼对π是超越数的证明，引出了圆不可能变成正方形的证明，这超出了本文的讨论范围 。
最后，我们附上希波克拉底新月面积定理的证明如下 。他的证明是如此简单和聪明 。
【定理】新月形AECF可用等面积正方形表示 。
图9
【证明】因为∠ACB是半圆的圆周角，∠ACB是直角 。根据边和角的同余定理，三角形AOC和BOC是全等的，所以AC=BC 。然后，我们应用勾股定理(勾股定理)来得到
因为AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径，我们可以应用上面的第三个结论，即得到
也就是说，半圆形AEC的面积是半圆形ACB的一半 。
现在让我们看看四分之一圆AFCO 。显然，这个四分之一圆也是半圆ACB面积的一半 。由此，我们可以直接得出结论
面积(半圆AEC)=面积(四分之一圆AFCO)
最后，我们只需要从这两个数字中减去它们共同的AFCD，即
区域(半圆形AEC)-区域(AFCD部分)
=面积(四分之一圈AFCO)-面积(AFCD部分)
从图中我们可以很快看出其余的是
面积(新月形AECF)=面积(△ACO)
我们知道，我们可以做一个面积等于三角形面积的正方形，这样就等于AECF新月的面积 。这就是把新月变成正方形的问题 。郑璧
上图，希波克拉底只发现了一个特殊的新月形区域 。有趣的是，并不是所有的月牙形都能变成等面积的正方形 。1771年，伟大的数学家欧拉(1707-1783)发现了另外两种可以用等面积正方形表示的新月形 。直到20世纪，N.G. Chebatoru和A.W. Dorodno证明了只有五种月牙形可以用等面积正方形来表示！所有其他类型的新月形状，像圆形，不能变成等面积的正方形 。
最后需要注意的是，根据希波克拉底特殊新月定理的证明，我们可以很容易地证明以下更一般的新月定理 。
【月牙定理】如果以直角三角形的两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，那么三个半圆围成的两个月牙形面积之和等于直角三角形的面积 。
图10
即两个黄色月牙形面积之和等于灰色直角三角形的面积 。作为练习，请在自己完成证明过程之前阅读 。
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