|从圆中弦长的最值到球中截面面积的最值
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看到这个标题很多人就能明白此次推送要说明的问题了 ， 在二维直线与圆中这是一个必定会出现的问题 ， 即过圆内一点(非圆心)的弦长的最值情况 ， 若二维扩展到三维中即过球内一点(非球心)的截面圆面积的最值情况 。
这两个问题可通过类比得到 ， 内容并不难理解 ， 之前没有专门推送过 ， 最近在整理球内的最值问题 ， 在截面圆的最值问题中发现不少此类问题 ， 关于球内截面圆的最值问题 ， 之前有一篇推送：锥体与球体的交线以及截面圆问题 。
今天把从二维到三维的最值问题给以说明 。
一、圆内一点弦长的最值
过圆内一点(非圆心)作弦长 ， 弦长最大时即为圆的直径 ， 这很好理解 ， 当弦长最短时 ， 此时圆心和该点的连线与弦长垂直 ， 且该点为弦长的中点 ， 这个可以通过直角三角形直角边和斜边长度的对比得出 ， 如下图：
过M点的弦长CD ， 取CD的中点E ， 在圆的半径确定的条件下 ， OE越长则弦长越短 ， 直角三角形OEM中OM为斜边 ， 绕弦长绕着点M运动 ， 此时OE会逐渐接近OM当EM重合时OE(OM)最长 ， 继续旋转 ， 则OE又变回直角边 ， 因此只要当CD的中点和M重合时弦长最短 ， 动图如下：
关于此类问题对应的题目不再给出 ， 很容易做 。
二、过球内一点截面圆面积的最值
类比推理中 ， 二维中的圆在三维中为球 ， 二维中的线段在三维中为平面 ， 过圆内一点的弦长的最值在球中对应过球内一点截面的最值 ， 根据类比可猜测当截面过球心时面积最大 ， 这个很好理解 ， 当球心与该点的连线与截面圆垂直且该点为截面圆圆心时 ， 截面圆面积最小 ， 如下图：
证明过程和平面内相同 ， 截面圆半径最小时 ， 球心到截面圆圆心的距离最大 ， 此时旋转截面 ， 当球心与点M重合时两心距离最大 ， 此时截面圆面积最小 ， 关于立体几何中截面面积最值的题目以往常见于文科题中 ， 难度不大 ， 现在新高考试卷中也偶然会遇到 ， 下面仅以一题为例：
之前推送的2021年太原一模理科数学中也有一个此类问题 ， 结合了空间角 ， 题目还不错 。
【|从圆中弦长的最值到球中截面面积的最值】下次推送将给出十一道压轴小题中与球有关的问题 。
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