数学|一道1954年高考数学真题，解方程，学霸直言送分题学霸

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1954年高考是新中国成立后进行的第三次全国统一高考。当年高考的数学试卷的题目设置为五道大题，其中第一道大题包括了6道小题，其余大题都只有一题。不过，当时的数学卷并没有选择题和填空题，从头到尾全部是解答题。
本文和大家分享的这道真题位于当年试卷的第四大题。这是一道解三角方程的题目，看似非常简单，学霸也直言就是送分题，但是却还是有不少同学没做对，只因解题过程中忽略了一些细节。那么接下来我们一起来看一下这道题。
在解题之前先说明一点，题目中的tgx也就是现在书上的tanx ，在下面的解题中也写成现在的tanx 。
分析一下方程，可以发现左边的分子分母都含有正切函数，所以看到正切函数就想到“切化弦” ，即tanx=sinx/cosx ，然后分子分母同时乘以cosx ，这样左边就化为(cosx+sinx)/(cosx-sinx) 。
再看右边，出现了sin2x ，明显可以用二倍角公式转化，即sin2x=2sinxcosx 。同时用同角三角函数关系将“1”进行转化，即1=(sinx)^2+(cosx)^2 ，这样右边就转化为了(sinx+cosx)^2 ，再将左边的分母乘到右边。
到这一步都很简单，都是比较常用的处理方法，但是接下来的这一步却出现了不该有的错误。那就是不少同学将等式两边同时除以cosx+sinx ，就是这一步出错导致整道题没做对。其实，也并不是不能除以cosx+sinx ，但是在除之前要确保cosx+sinx不为零，即还要讨论cosx+sinx=0的情况，否则就会漏解。
【数学|一道1954年高考数学真题，解方程，学霸直言送分题】
这道题到这一步后可以先移项再提公因式cosx+sinx ，整理后得到：
(sinx+cosx)[(cosx)^2-(sinx)^2-1
=0①；即(sinx+cosx)(cos2x-1)=0 。
接下来分类讨论。
当sinx+cosx=0时， tanx=0 ，解得：x=kπ-π/4 。
当cos2x-1=0时， cos2x=1 ，则2x=2kπ ，即x=kπ 。
上面两种情况下， k均为整数。完整过程见下图：
另外，当整理得到式子①时，除了上面的处理方法，还可以有其他的方法。比如当sinx+cosx=0时，可以用辅助角公式变形，得到√2sin(x+π/4)=0 ，从而得到x+π/4=kπ ，再解出x即可。再如(cosx)^2-(sinx)^2-1=0时，可以用同角三角函数的平方关系转化，得到-2(sinx)^2=0 ，即sinx=0 ，解出x即可。
如果是你做这道题，你能得到满分吗？

数学|一道1954年高考数学真题，解方程，学霸直言送分题

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