费马大定理|比尔猜想，一个百万美元的方程式，比费马大定理更难自然数|定理|质数|比尔

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在数学中，有很多重要的“未解之谜” ，最知名的是7个千禧难题，它们是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳维-斯托克斯方程、BSD猜想，其中庞加莱猜想已被解决。
然而，还有其他一些问题也是“价值不菲的” ，比如比尔猜想，该问题是本文的重点。比尔是一位著名的银行家，同时也是一位数学爱好者，他声称要为正确解决这个问题的人提供一百万美元的奖金。
互质
如果两个整数n和m的最大公约数是1 ，则它们就是互质的。很明显，所有一对（不相等的）质数都是互质整数，但例如（9 ， 4）也是互质整数，因为没有质数能同时整除它们。
猜想
比尔猜想的内容如下：
设

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方程1

其中A ， B ， C ， x ， y和z是自然数（正整数）。如果x、y和z都大于2 ，那么A、B和C肯定有一个共同的质因数。
下面是这个方程的例子：

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请注意，在这个方程中，所有三个项都有质数3作为因子，因为3能分别除3、6和3 。
理解任何形式的 "如果P那么Q "命题的一个好方法是考虑与之等价的反命题。反命题的真值和原始命题的真值是一样的，所以反命题的证明会立即证明原始命题（反之亦然）。
比尔猜想的反命题陈述如下：

假设方程（1）成立， A ， B ， C ， x ， y和z是自然数（正整数）。
如果A、B和C是互质的（即它们不共享一个素因子），那么x、y或z必须是1或2 。

我们可以用比尔猜想的反命题来构造一个方程，迫使该方程在A、B和C互质，以及x、y z大于2的情况下为真。然后，该猜想指出，这个方程没有自然数的解。
首先，我们需要贝祖恒等式：
设a和b是有最大公约数d的整数。那么存在整数x和y ，使得ax + by = d 。
贝祖定理的一个推论如下：
设a和b是互质的自然数。那么存在整数n和m ，使得na+mb=1 。
请注意，反之亦然，因为如果存在整数n和m ，使得na+mb=1 ，并且a和b不是互质的，那么它们有一个共同的质因数p ，根据质数的定义，这个质因数大于1 。这意味着p能除1 ，这显然是一个矛盾。因此， a和b是互质的。
现在我们可以说明以下情况：
当且仅当存在整数n和m ，使得na+mb=1时， a和b是互质的。
请注意，如果我们知道比尔方程（1）成立，那么 "A、B和C不共享一个共同的质因数 "的说法就等同于A和B是互质的说法。
这是因为如果A和B有一个共同的质因数p ，那么我们可以从(1)的左手边提出这个质因数。这表明， C^z也有p作为质因数。所以如果A和B有一个共同的因子，那么它们都有这个因子。