多面体的面概念多面体的概念 _生活百科

上周小编去撸串的时候，吃到一半，发现用来放吃完的竹签的桶已经满了。

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什么，我已经吃了这么多了吗？
于是强迫症爆发，把它们整理了一下（无图qaq），就可以放下新的竹签了。
看着整齐的竹签桶，小编陷入了沉思——同样数量的竹签，同样大小的竹签桶，改变竹签的排列方式就可以让竹签桶从装满变成只装了一半，这背后的物理是什么呢？

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首先从几何的角度去分析，两种竹签的空间排列方式对应的单根竹签平均占据体积不同——
等等，什么是“平均占据体积”？

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为了考虑单根竹签的平均占据体积，我们定义竹签堆的总体积为，能够覆盖所有竹签的最小凸多面体。其中凸多面体被定义为，如果两个点属于这凸多面体，那么连接这两个点的线段也属于这个凸多面体。

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左侧的多面体（立方体）是凸多面体：多面体内部任意两点之间的线将完全位于多面体的内部（内核）。右侧的多面体不是。
来源：flookes
我们可以从凸多面体的反义词，凹多面体去理解这个概念。比如一个被踢瘪的足球（可图），凹下的碗状部分的边缘都是属于足球的，但是连接边缘上的两点的线段，却对应的是空气，不在瘪下去的足球内。

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踢瘪的足球
来源：istockphoto
所以，当定义竹签堆的体积为“能覆盖所有竹签的最小凸多面体”时，平均占据体积就是这个体积除以竹签的数目。
那么平均占据体积它的上限和下限是多少呢？
首先考虑最小的情况。假设一根竹签为一个理想的细长圆柱体，高度是L，底面半径为r，考虑空间最密堆积，可以计算出，一堆竹签中单根竹签的最小占据体积是

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。

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高密度堆积圆柱来源：Woden Kusner
在考虑更大占据体积时，我们需要限制这一堆竹签的可能排列方式，不然如果这堆竹签中有几根相距无穷远的竹签，那么这堆竹签的体积可以对应无穷大。根据这个明显不符合我们预期的例子，我们可以要求这堆竹签中每一根竹签至少与一根其它竹签接触。
但这样还有一个反例，那就是这些竹签连接成环，这样它们对应的凸多面体的体积很大，但实际上中间有很大的空心部分。
如果我们为每根竹签赋予一个以它自身为直径的小球。那么我们要求，所有竹签对应小球的体积叠加在一起（允许部分重叠）可以覆盖整个多面体。这样，如果竹签连接成环，那必然会有空心的部分，因此被排除在假设之外啦。
接下来的问题就交给数学了。考虑竹签是只有长度，横截面积为零的线段。我们需要在所有可能的竹签排列方式中找出平均占据体积更大的解。严格的证明比较困难，但是物理人绝不认输——我们可以想办法去靠近这个解，并“顺便”在这个逼近的过程中探寻物理规律。

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先看最简单的情况。一根竹签变不出什么花样来；当有两根竹签时，由于必须相互接触，则构造的凸多边形面积为|a×b|/2，考虑上竹签厚度r的话，平均占据体积为|a×b|r/4 。当两根竹签相互垂直时，这个体积达到更大，为rL/4 。
当有三根竹签时，可以忽略竹签厚度。任意三条相接触的线段对应的凸多面体的体积为|a?(b×c)| /6，平均占据体积为|a?(b×c)| /18 。当三根竹签相互垂直时，这个体积达到更大，为L/18 。如果这三根竹签的中心也恰好在一起，那么它们对应的凸多面体就恰好是正八面体。正八面体同时也是三根竹签对应的凸多面体中对称性更高的图形，具有48种对称操作。因此，竹签的取向对平均占据体积影响很大。

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八面体金字塔
来源：wiki
这个解给了我们什么启发呢？对比这个解和平均占据体积最小的解，我们发现，两个解中各个竹签的方向排列不同。平均占据体积最小的解，所有的竹签排列方向都是一样的，而目前找到的更大的平均占据体积的解，每根竹签的方向都不同，而且是尽更大可能的不同（数学上该如何定性描述呢，emm, 物理人深思）。