|已知5/x+1/y=2, 求x+y的最大值
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已知5/x+1/y=2求x+y的最大值
主要内容：通过替换、柯西不等式、二次方程判别式及多元函数最值法等 ， 介绍x+y在条件5/x+1/y=2下最大值的计算步骤 。
主要公式：
1.均值不等式：正实数ab满足a+b≥2√ab 。
2.柯西不等式：对于四个正实数xybc有以下不等式成立 ， 即：(x+y)(b+c)≥(√xb+√yc)^2 ， 等号条件为：cx=by 。
方法一：“1”的代换x+y
=1/2*(x+y)*2
=1/2*(x+y)(5/x+1/y)
=1/2*(5+1+x/y+5y/x)
利用均值不等式 ， 则有：
x+y≥1/2*(5+1+2√5) 。
所以：x+y的最大值=3+√5 。
方法二：柯西不等式法∵(5/x+1/y)(x+y)≥(√5+√1)^2
∴2(x+y)≥(√5+1)^2
【|已知5/x+1/y=2, 求x+y的最大值】即：
x+y≥1/2*(√5+1)^2 。
所以：
x+y的最大值=3+√5 。
方法三：二次方程判别式法设x+y=t则y=t-x代入已知条件得：
5/x+1/(t-x)=2
5(t-x)+1x=2x(t-x)
2x^2+(1-2t-5)x+5t=0
方程有解 ， 则判别式为非负数 ， 即：
△=(1-2t-5)^2-4*10t≥0 ， 化简得：
(2t-6)^2≥4*5 。
要求t的最大值 ， 则对不等式两边开方有：
2t-6≥2√5
2t≥6+2√5 ，
即tmax=3+√5 。
方法四：多元函数极值法设F(xy)=x+y+λ(5/x+1/y-2)
分别对参数求偏导数得：
Fx=1-5λ/x^2Fy=1-λ/y^2
Fλ=5/x+1/y-2 。
令Fx=Fy=Fλ=0则：
x^2=5λ y^2=λ
x=√5λy=√λ 。
代入得方程：
√5/√λ+1/√λ=2
√λ=1/2*(√5+1)
则：
x+y的最大值
=(√5+1)*√λ
=1/2*(√5+1)^2
=3+√5 。
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