数学|“量子”年度数学，回答了拓扑学、集合论甚至物理学的主要问题( 二 ) 物理|机器

无限的本质
有多少实数存在？一个多世纪以来，这一直是一个具有挑战性的问题，也是一个尚未解决的问题，但今年，我们看到了一个重大的进展。两位数学家在5月发表了一个证明，结合了之前两个对立的公理，其中一个的变化，被称为马丁极大值，暗示了另一个，命名为(*) 。结果意味着这两个公理更有可能是正确的，这反过来表明实数的数量比最初想象的要多，对应的基数是?2 ，而不是较小的（但仍然是无限的）?1 。这违反了连续统假设， ?0对应于所有自然数的集合。但并不是所有人都同意这个观点，包括(*)的最初创立者休·伍丁，他发表的新研究表明连续统假说终究是正确的。
1900年，大卫·希尔伯特提出了23个未解的重要问题，今年数学家们对第12个问题给出了不完整的答案，第13个问题是关于某些数字系统的组成部分，第13个问题是关于七次多项式的解。 2月还宣布，单位猜想是错误的，这意味着乘法逆实际上存在于比数学家们想象的更复杂的结构中。今年1月，亚历克斯·康托罗维奇在一篇文章和一段视频中探索了或许是数学中最大的未解决问题——黎曼假设。

扩大数学桥梁
通常，一个伟大的数学进步不仅能回答一个重大问题，而且还提供了探索其他问题的新途径。 Laurent Fargues和Jean-Marc Fontaine在2010年左右创造了一个新的几何物体，这对他们自己的研究有帮助。但是，当与彼得·舒尔茨（Peter Scholze）围绕完美空间的思想相结合时，法格斯-方丹曲线（ the Fargues-Fontaine curve）的意义得到了扩展，进一步将数论和几何联系起来。这是一种介于两个不同世界之间的虫洞。
关于朗兰兹项目的其他思考包括对安娜·卡莱亚尼的采访，她的工作帮助加强和改善了不同数学领域之间的类似联系，以及对朗兰兹原始猜想核心的伽罗瓦对称群的研究。

数学和计算机联合起来
现实世界的系统是出了名的复杂，偏微分方程帮助研究人员描述和理解它们。但是偏微分方程也是出了名的难解。两种新的神经网络——DeepONet和傅里叶神经算子——已经出现，使这项工作更容易。两者都具有近似算子的能力，可以将函数转换为其他函数，有效地允许网络将一个无限维空间映射到另一个无限维空间。新系统比传统方法求解现有方程的速度更快，而且它们还可能有助于为以前过于复杂而无法建模的系统提供偏微分方程。
事实上，今年计算机已经在很多方面证明了对数学家的帮助。今年1月，量子计算机公司报告了量子计算机的新算法，通过首先将它们近似为更简单的线性系统，量子计算机可以处理非线性系统，其中的相互作用可以影响它们自己。计算机也继续推动着数学研究的发展，一组数学家使用现代硬件和算法证明，与26年前发现的四面体相比，现在已经没有更多类型的特殊四面体了。

数学再一次遇上了物理
物理学和数学总是重叠的，相互启发和推动。量子场论的概念，物理学家用来描述包含量子场的框架的一个包罗一切的概念，已经取得了巨大的成功，但它建立在不稳定的数学基础上。将数学的严谨性引入量子场理论将有助于物理学家研究和扩展这个框架，但它也将给数学家们提供一套新的工具和结构来发挥作用。

数学|“量子”年度数学，回答了拓扑学、集合论甚至物理学的主要问题( 二 )

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