数学|“量子”年度数学，回答了拓扑学、集合论甚至物理学的主要问题物理|机器

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数学家和计算机科学家们度过了激动人心的一年，在集合理论、拓扑学和人工智能方面取得了突破性进展，同时还重新探讨了一些老问题，并见证了数学与其他学科之间的联系不断增长。但许多结果只是部分的答案，一些有希望的探索途径被证明是死胡同，留给未来几代人的工作。
拓扑学家们已经度过了忙碌的一年，今年秋天，他们看到了一本书的出版，这本书最终全面地介绍了一项有40年历史的有可能丢失的重要工作。 11年前发明的一种几何工具在不同的数学背景下获得了新的生命，连接了不同的研究领域。集合理论的新工作使数学家们更接近于理解无限的本质以及有多少实数。
对量子场理论的数学理解的需求日益增长，量子场理论是物理学中最成功的概念之一。同样，计算机正成为数学家们日益不可或缺的工具，他们不仅使用计算机进行计算，而且还可以解决其他不可能的问题，甚至验证复杂的证明。随着机器解决问题的能力越来越强，今年在理解它们为何如此擅长解决问题方面也取得了新的进展。

拓扑结构
人们很容易认为，数学证明一旦被发现，就会永远存在。但是， 1981年的一个开创性的拓扑学结果有被历史遗忘的危险，因为仅有的几个了解它的数学家年纪越来越大，离开了这个领域。迈克尔·弗里德曼对四维庞加莱猜想的证明表明，在某些方面与四维球体相似的某些形状在其他方面也必须与四维球体相似，使它们“同胚” 。拓扑学家有自己的方法来确定两种形状何时相同或相似。幸运的是，一本名为《圆盘嵌入定理》的新书用近500页的时间确立了弗里德曼方法的逻辑，并将这一发现牢固地确立在数学经典中。
另一个最近在拓扑学上的重要成果涉及到斯梅尔猜想，该猜想问的是四维球体的基本对称性。渡边忠之证明了答案是不存在的。此外，两位数学家开发了“弗洛尔·莫拉瓦K理论” ，这是一个结合辛几何和拓扑学的框架；这项工作为解决这些领域的问题建立了一套新的工具，而且几乎顺便证明了一个已有几十年历史的问题——阿诺德猜想。
【数学|“量子”年度数学，回答了拓扑学、集合论甚至物理学的主要问题】
打开AI的黑匣子
深度神经网络是一种建立在人工神经元层上的人工智能，无论它们是帮助数学家做数学还是帮助分析科学数据，都已经变得越来越复杂和强大。它们也依然神秘：传统的机器学习理论认为，它们大量的参数应该会导致过拟合和无法泛化。事实证明，更老、更容易理解的机器学习模型，即所谓的内核机器，在数学上等同于这些神经网络的理想化版本，提出了理解并利用数字黑匣子的新方法。
但也有一些挫折。被称为卷积神经网络的相关人工智能很难区分相似和不同的物体，而且很有可能永远都是如此。同样，最近的研究表明梯度下降，从根本上来说是一个困难的问题，这意味着一些任务可能永远超出了它的能力范围。尽管量子计算前景光明，但在3月份，一篇描述如何创造抗错拓扑量子位的重要论文被撤回，迫使曾经充满希望的科学家们意识到，这样的机器可能是不可能的。

数学|“量子”年度数学，回答了拓扑学、集合论甚至物理学的主要问题

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