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如何求函数的反函数

生活百科反函数


如何求函数的反函数

文章插图
求反函数的方法：
（1）从原函数式子中解出x用y表示；
（2）对换 x,y ,
（3）标明反函数的定义域
如：求y=√(1-x) 的反函数
注：√(1-x)表示根号下(1-x)
两边平方,得y2=1-x
x=1-y2
对换x,y 得y=1-x2
所以反函数为y=1-x2（x≥0)
说明：
反函数里的x是原函数里的y ,原函数中,y≥0,所以反函数里的x≥0 。
在原函数和反函数中,由于交换了x,y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域 。
反函数就是从函数y=f(x)中解出x，用y表示 ：x=φ(y),如果对于y的每一个值，x都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数，习惯上，用x表示自变量，所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置) 。
求一个函数的反函数：
1、从原函数式子中解出　x　用　y　表示；
2、对换 x,y ；
3、标明反函数的定义域
注：反函数里的x是原函数里的y，原函数中，y≥0，所以反函数里的x≥0 。在原函数和反函数中，由于交换了x、y的位置，所以原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域 。
扩展资料：
反函数存在定理：
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同 。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性 。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D) 。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减 。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y 。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y 。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1 。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2 。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D 。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾 。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2) 。这就证明了反函数f-1也是严格单增的 。
如果f在D上严格单减，证明类似 。
求反函数的步骤：
1、反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值 。
2、将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式 。
3、求反函数的定义域，这个是很重要的一点，反函数的定义域是原函数的值域 。
【如何求函数的反函数】则转变成求原函数的值域问题，求出了解析式，求出了定义域，就完成了反函数的求解 。

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