文章插图
奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function） 。
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function) 。
性质
1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。
2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数 。
3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数 。
4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数 。
运算法则
(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数 。
(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数 。
(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 。
(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 。
(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 。
(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 。
奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 。
偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 。
特别地：
1.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数 。
2.如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数 。
函数奇偶性的证明方法一般有：
⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同 。
⑵图像法：f(x）为奇函数<=>f(x）的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x）为偶函数<=>f(x）的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性 。
⑷性质法：利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数 。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 。
偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数 。
奇函数的图象关于原点中心对称 。
偶函数的图象关于Y轴对称 。
奇、偶函数的定义域一定关于原点对称 。
奇函数的偶次项系数等于0，偶函数的奇次项系数等于0 。
Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数 。
奇函数性质
1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。
2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数 。
3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数 。
4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数 。
【什么是奇函数和偶函数?】5. 当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数 。奇函数在对称区间上的积分为零 。
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