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质数的规律是什么？( 二 )

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第二点更令人惊讶，因?T篕P第一点相反，质数表现出惊人的规律性 。也就是说，确有规律限制质数的行为，他们像军人一样绝对服从这些规律 。
为了支持第一点，我把100以下的质数和合数写出来（除了2以外，不列偶数）：
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再把1千万加减一百以内的质数列出：在9,999,900与10,000,000之间的质数
9,999,901
9,999,907
9,999,929
9,999,931
9,999,937
9,999,943
9,999,971
9,999,973
9,999,991
在10,000,000与10,000,100之间的质数
10,000,019
10,000,079
你看！没有什麼理由可以说这个数是质数，那个数不是质数 。当你看到这些数字时，是否联想到宇宙的奥秘，像天边那闪烁的星星一样神秘不可测？甚至数学家都无法揭开此一奥秘，如果他们能够，他们就不会劳神苦思去计算下一个更大的质数是多少了 。（没有人会想去找比前一个平方数更大的平方数，或2的幂次数——通常一个好学生只记到210=1024） 。
1876年，Lucas证明2127-1为质数，这纪录维持了75年 。这也难怪，因为
2127-1
=1701411834604469231731687303715884105727
直到1951年，电子计算机的新纪元，更大的质数陆续发现（见下表历次记录） 。目前的记录是6002位的219937-1，不信的话，你可以去查Guiness世界记录 。（编者注：根据合众国际社1978年11月15日报导，这记录已被两个18岁的加州大学学生打破 。）
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质数的规律
更有趣的，还是关於质数的规律 。前面已提到过100以下的质数，现在用图表示，其中π(x)表示所有不大於x的质数的个数 。
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【质数的规律是什么？】就这麼简单的一个图，我们已经可以看出，除了一些小的扰动以外，π(x)大致上增加得很有规律 。
若把x值从一百增到五万，则此规律性变得更为明显 。见下图：
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当某种规律自然出现时，科学家就得设法去解释它，质数分布的规律性也不例外 。关於质数分布，我们不难找到一个良好的经验规律 。请看下表：（这表看来平凡无奇，却代表上千小时的艰苦计算 。）
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注意：x每增10倍，x与π(x)的比就增加约2.3 。机警的数学家立刻联想到10取自然对数的近似值是2.3 。所以x/π(x)～logx，亦即π(x)～x/logx（用log x表示x的自然对数，～表示当x接近无穷大时，π(x)与x/logx的比趋近於1；如果用≈，则表示接近的程度更好 。）
质数定理
这个关系叫做质数定理，是高斯1791年发现的，但直到1896年才得到证明 。高斯（1777～1855年，关於高斯与质数定理，请参阅凡异出版社，伟大数学家的一生——高斯）14岁那年收到一本对数的书；次年，研究书上所附的质数表，发现了这个定理 。终其一生，高斯一直很注意质数分布，并且花了很多功夫去计算 。高斯写信给他学生安克（Encke）说他「时常花费零星的片刻计算1000个连续整数（如18001到19000）中有多少质数」，最后他竟能列出三百万以下的所有质数，并且拿来和他的推测公式比较 。
质数定理说π(x)是渐近地，即相对误差趋近於0，等於x/logx 。但是如果拿x/logx与π(x)的图形加以比较，则可看出，虽然x/logx反映了π(x)行为的本质，却还不足以说明π(x)的平滑性 。
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所以，我们希望找到更佳的近似函数 。如果我们再仔细看看前面那个表，会发现x/π(x)差不多恰为logx-1 。经过更小心地计算，并和π(x)的更精密数据相较，乐强何（Legendre）在1808年找到特佳的近似 。即
π(x)≈x/(log-1.08366)
另有一种π(x)的近似函数也不错，是高斯与质数定理同时提出的 。从经验得知，当x很大时，在x附近出现质数的或然率差不多恰为1/logx 。因此，π(x)差不多应为
对数和：Ls(x)=1/log2+1/log3+…+1/logx或实值上相同的
对数积分：【浏览原件】
现在再比较Li(x)与π(x)的图形，把座标轴的尺度取到这麼大时，两者完全重合 。
没有必要再把乐强何的近似图形列出来给大家看，因为在0到5万之间，他的近似比Li(x)更加接近π(x) 。
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质数的幂次
再提一个π(x)的近似函数 。从黎曼（Riemann）研究质数的结果显示，如果我们在计算质数以外，还计算质数的幂次（质数的平方算半个质数，质数的立方算1/3个质数，依此类推），则一个很大的数x为质数的或然率将更接近1/logx 。从此导出
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或
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第二式右边的函数定名为R(x)以纪念黎曼 。从下表可以看出它与π(x)有惊人的吻合 。

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