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质数的规律是什么？( 三 )

生活百科质数


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R(x)可以表为
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在这里要强调一点，高斯和乐强何的近似都是由经验归纳而来的，不是由逻辑证明得到的 。甚至黎曼函数也是如此，虽然他的R(x)有理论的解释，他从未证明出质数定理 。Hadamard以及de la Vall'eePoussin根据黎曼的工作，继续研究，终於在1896年首度完成证明 。
孪生质数
关於质数的规律性，我们再来看一些数值的例子 。前面说过，在x附近的一个数其为质数的或然率为1/logx 。换句话说，假使取一以x为中心，长度为a的区间，这区间长得足以使统计成为有意义，而与x相较，又足够小时，其中质数的个数，应该约为a/logx 。例如，在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间，预计有8142个质数，因为
150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427… ≈8142
根据同样的想法，在x附近的任意两数同时为质数的或然率应约为1/(logx)2 。所以如果有人问在x到x＋a之间有多少孪生质数（连续两个奇数都是质数，如11,13或59,61），则我们可以预计有a/(logx)2个 。事实上，我们可以预计多些，因为n已是质数，使n＋2为质数的可能性稍稍加大 。（例如n＋2必为奇数） 。用一个容易的直观的论点，可以得到在〔x,x＋a〕中，孪生质数的对数为C．a/(logx)2，此处C＝1.3203236316… 。
所以在壹亿至壹亿零壹拾伍万之间应有(1.32…)．150,000/(18.427)2≈584对孪生质数 。下表列出一些同长区间中质数及孪生质数的预测值及真值 。由下表可以看出，理论和实际有极佳的吻合 。对於孪生质数而言，这种吻合更令人惊讶 。因为孪生质数是否为无穷，这问题直到现在尚无定论，遑论他的分布定律了 。
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质数的距离
关於质数分布的规律性，最后一个例子就是相邻两质数的距离 。若有人去查质数表，会注意到有时距离相当大 。例如113和127之间无其他质数 。令g（x）表x以下，所有相邻质数的最大距离 。则g（200）＝127-113＝14 。当然，g（x）增加得极不规则 。但是用一个直觉的论点可以得到下列渐近公式，g(x)～(logx)2 。从下图可以看出，像g（x）这样极不规则的函数，其行为和预测能符合的程度 。
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到现在为止，质数的规律性说得较多，不规律性说得很少 。而本文标题「头五千万个质数」，我也只提到前几千个而已 。所以现在先列一表，比较π(x)，乐强何，高斯，黎曼四函数在x小於一千万范围内的差异 。因为这四种函数在图上分辨不出差异，如前面所列π(x)与Li的比较图，所以现在这图只表示这三种函数与π(x)的差 。我想从这图足以看出，一个有志研究数论的人可能遇到的麻烦有多大 。当x很小时（小於一百万），x/logx-1.08366比Li（x）近似π(x)，但是五百万以后，Li（x）变得较近似，而且可以证明当x更增加时，Li（x）总是较近似π(x) 。
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就算我们讨论到一千万，其中也只有60万多个质数 。要达到应许的五千万个质数，x必须为十亿 。下图表示十亿以内R(x)-π(x)的图形 。R(x)-π(x)的振动变得愈来愈大，但即使到十亿这麼大，振动仍在几百以内 。
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顺便提另一个π(x)的趣事 。从图上可以看出，在一千万以内，Li（x）总是大於π(x)，10亿以内仍然如此 。见下图（此图以对数尺寸绘出） 。
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上图给我们一个印象，当x继续增加时，Li（x）-π(x)会稳定地无限增加 。但是上述推测错了！事实上，立特伍（Littlewood）可以证明有某x值，而π(x)会大於Li（x） 。但到目前为止，并未真正找到一个确数，使此事成立，而且恐怕永远不会找到 。但是立特伍的证明不可能有误，而且Skewes更证明在【浏览原件】以内就有一个这样的数 。英国名数学家Hardy有一次说，这可能是数学上有确定目的的数字中最大的了 。总而言之，此例说明了，在质数理论里，仅仅依赖数据就想要导出结论的作法是多麼不智啊！
〔本文节译自“The First 50 million Prime Numbers”，原文刊登在The New Mathematical Intelligencer, Vol. 0, Aug. 1977，为原作者Don Zagier就任德国波昂大学教授的就任演说稿 。〕

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