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方差与标准差

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方差与标准差

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标准差（StandardDeviation） ， 也称均方差（meansquareerror） ， 是各数据偏离平均数的距离的平均数 ， 它是离均差平方和平均后的方根 ， 用σ表示 。标准差是方差的算术平方根 。标准差能反映一个数据集的离散程度 。平均数相同的 ， 标准差未必相同 。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数 。公式：1、方差s=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n(x为平均数)2、标准差=方差的算术平方根它们的意义：1、方差的意义在于反映了一组数据与其平均值的偏离程度；2、方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量 。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度 。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数 。3、方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度 ， 用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差 。在样本容量相同的情况下 ， 方差越大 ， 说明数据的波动越大 ， 越不稳定 。4、标准差是方差的算术平方根 ， 意义在于反映一个数据集的离散程度 。
我们可以代入期望的数学表达形式 。比如连续随机变量：
Var(X)=E[(X?μ)2]=∫+∞?∞(x?μ)2f(x)dx
方差概念背后的逻辑很简单 。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示 。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度 。平方的最小取值为0 。当取值与期望值相同时 ， 此时不离散 ， 平方为0 ， 即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时 ， 平方增大 。由于取值是随机的 ， 不同取值的概率不同 ， 我们根据概率对该平方进行加权平均 ， 也就获得整体的离散程度——方差 。
方差的平方根称为标准差(standard deviation, 简写std) 。我们常用σ表示标准差
σ=Var(X)??????√
标准差也表示分布的离散程度 。
正态分布的方差
根据上面的定义 ， 可以算出正态分布
E(X)=1σ2π??√∫+∞?∞xe?(x?μ)2/2σ2dx
的方差为
Var(X)=σ2
正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σ 。这正是我们使用字母σ来表示标准差的原因！
excel的标准差函数是：STDEVP函数 。
使用STDEVP函数的方法：
1、首先点击选中需要计算标准差的单元格位置 ， 并选择上方的“fx”图标插入函数 。
2、在插入函数对话框中输入STDEVP ， 并在查找到的结果中双击STDEVP开启函数参数设置 。
3、在打开的参数设置对话框中选中需要计算标准差的单元格区域 ， 可以根据需要自行选中 。
4、点击确定后即可对应生成标准差 ， 针对多组数据可以向下填充公式生成批量的计算结果 。
标准差的两种计算公式如下：
std(A)：
std(A)函数求解的是最常见的标准差 ， 此时除以的是N-1 。
此函数命令不能对矩阵求整体的标准差 ， 只能按照行或者列进行逐个求解标准差 ， 默认情况下是按照列 。
在MATLAB主窗口中输入std(A)回车 ， 结果如下：
输出的是每一列的标准差 。
std(A ， flag)：
这里flag代表的是用哪一个标准差函数 ， 如果取0 ， 则代表除以N-1 ， 如果是1代表的是除以N ， 
我们在MATLAB主窗口中输入std(A ， 1)回车 ， std(A ， 0) 。
std(A ， flag ， dim)：
【方差与标准差】第三个参数代表的是按照列求标准差还是按照行求标准差 ， std(A ， 1 ， 1)代表的是按照列求标准差 ， std(A ， 1 ， 2)代表的是按照行求标准差 。

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