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惊！学了这么久的追及问题，其实竟是牛吃草

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惊！学了这么久的追及问题，其实竟是牛吃草

文章插图
有家长提问——
甲乙两车分别从AB两地同时出发同向而行，乙在前甲在后，若甲车以2倍原速去追需5小时追上乙车，若甲车以3倍原速去追则需3小时，那么甲车以原速去追需几小时？
他说——
孩子说这道题可以列算式“(2×5-3×3)÷2”去求乙车车速，我问他为什么，他讲了一通我还是听不明白，关键是，这个速度的单位是什么呀？请教一下⑨老师，这样列算式对吗？
1、先做一道经典牛吃草问题，理解“总消耗=总生长”模型；
2、再回到本题，把追及问题中的“路程差”“乙速”“甲速”“速度倍数”“小时数”分别转化为牛吃草问题中的“原草”“草速”“牛速”“头数”“天数”；
3、先设甲按照原速每小时走1份路程，然后按照牛吃草问题的标准解法列算式求出“草速”（乙速）和“原草”（路程差）；
4、最后回到追及模型，用“路程差”除以“速度差”求得“追及时间”.
1、以上是一道经典的牛吃草问题，做题前先厘清以下概念：
原草——牛吃草之前就已经存在的若干“份”草
草速——草地每天新长出几“份”草
牛速——1头牛1天吃1“份”草[1]
总消耗——若干头牛连着吃若干天所吃的草量
总生长——原来就有的草量加上牛吃草过程中新长出的草量
2、解决牛吃草问题的数学模型为“存量输入输出模型”[2]，该模型符合一个等式——
总消耗=总生长
等式具体展开变为——
牛速×头数×天数=原草+新草
牛速×头数×天数=原草+草速×天数；
3、从第2条的等量关系可以看出，牛儿们吃完草地上的所有草时，它们的胃里装的不仅仅是最开始草地上所有的草（原草），还有它们吃草的这些天新长出来的草（新草）；
4、那么请思考：同一块草地5天吃光与3天吃光，哪一种吃法吃的草的总量更多？
5、同一块草地的原草肯定是一样的，所以初学者往往会以为无论吃5天还是吃3天都吃了一样多的草，这时无需多解释，直接通过计算来比较——
（设每头牛每天吃1份草）
①“2头牛吃5天”共吃了1份/头·天×2头×5天=10份草
②“3头牛吃3天”共吃了1份/头·天×3头×3天=9份草
通过①②比较，我们发现5天吃的草量会比吃3天的多；
6、那么请思考：同一块草地的原草一样多，为什么“吃5天”就会比“吃3天”吃的草量多呢？
7、这样问就算是初学者也能想明白——这是因为两种吃法所吃的“新草”的量不同，而新草与天数正相关：新草=草速×天数，即，同一块草地在全部吃光前花的时间越久，能吃到的新草就会越多；
8、以上定性比较完成后，接下来是定量的差量分析[3]：
第5条中情况①“吃5天”与情况②“吃3天”所吃的草量相差10份-9份=1份——
为什么会相差这1份呢？
如果都是吃3天还会相差这1份草吗？
9、相差1份草的原因显然不是原草而是新草，而吃5天与吃3天的“前3天”也必定是一样多的新草，那么唯一的不同就在于“吃5天比吃3天多吃了2天”——
正是因为多吃了2天，所以让草地多长了2天的新草！
10、第5条中情况①“吃5天”与情况②“吃3天”所吃的草量相差的1份来自于多长2天的新草，那么1天所长的新草（草速）即可求出——
草速：(1份/头·天×2头×5天－1份/头·天×3头×3天)÷(5天-3天)=0.5份/天
11、总消耗=原草+新草
原草=总消耗-新草
原草=牛速×头数×天数-草速×天数[4]
原草=1份/头·天×2头×5天-0.5份/天×5天
原草=10份-2.5份
原草=7.5份
12、题目最后问的是“如果让1头牛来吃，吃光草地需几天”，考虑每一天的“消耗”与“生长”，每天1头牛会吃1份草，而每天草地又会长出0.5份新草，所以每天牛在消耗了新草之后，只能吃掉1份-0.5份=0.5份原草，而原草一共有7.5份，全部吃光需要几天：
天数=7.5份÷(1份/天-0.5份/天)
天数=7.5份÷0.5份/天
天数=15天
答：如果让1头牛来吃，吃光草地需15天.
1、以上是一道行程问题中的追及问题，做题前先厘清以下概念：
路程差——甲开始追乙之前就已经存在的AB之间路程，这段路程恰好等于“甲从A出发到追上乙所走的路程”减去“乙从B出发到被甲追上所走的路程”
乙速——被追者每小时走的路程，这个速度用来“新增”两人的差距
甲速——追逐者每小时走的路程，这个速度用来“吃掉”两人的差距

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