作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！上一篇文章我们计算了什么时候存在三角形——恰当三角形，给定的大圆、小圆分别是三角形的外接圆、内切圆 。（见《如何做到既内切又外接？》）然而这个主题我们还有值得玩味的地方 。
Part1尺规作图已知大圆半径和小圆的圆心距，如何通过尺规作图求对应小圆的半径？
我们尺规作图的依据基于上期文章的公式：
通过简单变形：
以下是作图的具体步骤.
文章插图
【外接圆圆心是什么交点 外接圆心是什么的交点】我们需要先求出分子.
由勾股定理，我们立即可知. 我们接下来还需要对进行平方. 所谓平方，即是求.
- 如上图，，分别过作垂线垂直于交于点.
由相似原理：，于是有相似关系：
- 在上截取，作平行线，交于点.
我们将视为单位1，代入得到
- 取中点，以为圆心，为半径作圆. 完毕. 最后我们得到：
然后过上任意一点做切线……皆可得到恰当三角形，这由pencelet定理保证，事实上对于一般椭圆曲线也成立.
文章插图
Part2垂足曲线
文章插图
如上动图，轨迹曲线由外接圆圆心到三角形三边的垂足运动而成 。我们接下来求一下它的曲线方程. 建系如下：
文章插图
不妨设，即，设由上期文章中的公式：
即得
这是一个极坐标方程，该曲线正是心形曲线.
Part3反演观点何谓“反演”？请看下图：是圆心位于原点的单位圆中的任意一点，接下来我们找点关于的反演点. 我们称是反演圆，圆心称为反演中心 。连接并延长，做过点关于射线的垂线交圆于点；做过点的切线交于点，则为的反演.（若再对点取共轭，则得到点的复反演.）容易验证，反演的反演是恒等变换.
反演满足以下几何性质：
文章插图
（保圆性）反演将圆映射为圆.
- 更确切地讲，反演将反演圆内的小圆映射为圆外的大圆，或者反过来.
- 若圆与反演圆相交，则其反演的像也与反演圆相交于相同的点.
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