三素数定理
如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确 。我们可以把这个问题反过来思考 。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想 。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理 。这个小素变数不超过N的θ次方 。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想 。潘承洞先生首先证明θ可取1/4 。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120 。这个数已经比较小了，但是仍然大于0 。
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文 。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和 。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的 。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方 。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立 。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度 。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想 。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立 。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大 。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000 。这第一个可容许值后来被不断改进 。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000 。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破 。
研究历史
华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家 。1936～1938年，他赴英留学，师从哈代研究数论，并开始研究哥德巴赫猜想，验证了对于几乎所有的偶数猜想 。
1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题 。参加讨论班的学生，例如王元、潘承洞和陈景润等在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩 。
【哥德巴赫猜想为什么难以破解？】1956年，王元证明了“3+4”；同年，原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了“3+3”；1957年，王元又证明了“2+3”；潘承洞于1962年证明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1+4”；1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了“1+2” 。
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