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哥德巴赫猜想为什么难以破解？

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哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和 。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明 。[1]因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和 。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和 。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本 。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b" 。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和" 。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想” 。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想 。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想” 。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的 。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理” 。
哥德巴赫猜想
猜想提出
1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和 。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和 。”
1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信 。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明 。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和 。但是这个命题他也没能给予证明 。
研究途径
研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径 。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题 。

殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数 。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10 。用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b 。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1" 。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的 。
“a + b”问题的推进
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9” 。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7” 。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6” 。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366” 。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5” 。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4” 。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4” 。稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3” 。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数 。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4” 。
1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ” 。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ” 。
例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数 。x之前所有例外偶数的个数记为E(x) 。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的 。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1 。当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小 。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立 。这就是例外集合的思路 。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年 。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理 。
业余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的 。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度 。这个结论华老早在60年前就真正证明出来了 。

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