文章插图
大家好,小问来为大家解答以上问题 。求值域的秒杀技巧，求值域这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式 ， 求得函数的值域 。
2、例1：求函数y=3+√(2－3x) 的值域 。
3、点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域 。
4、解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3 。
5、∴函数的值域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性 。
6、本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法 。
7、练习：求函数y=[x](0≤x≤y,x∈N)的值域 。
8、（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域 。
9、例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 。
10、点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域 。
11、解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝ 。
12、点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数 。
13、这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一 。
14、练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域 。
15、（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域 。
16、点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求 。
17、解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2] 。
18、此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用 。
19、配方法是数学的一种重要的思想方法 。
20、练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤5}) 四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域 ， 但只适用于定义域为R或R除去一两个点 。
21、例4：求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域 。
22、点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域 。
23、解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）+(y－3)≥0，解得：2＜y≤10/3当y=2时,方程(＊)无解 。
24、∴函数的值域为2＜y≤10/3 。
25、点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域 。
26、常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数 。
27、练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域 。
28、（答案：值域为y≤－8或y>0） 。
29、 五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域 。
30、例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域 。
31、点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围 ， 将目标函数消元、配方，可求出函数的值域 。
32、解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解 ， 解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中 ， 得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小 。
33、当x=-1时，z=－5；当x=3/2时 ， z=15/4 。
34、∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝ 。
35、点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值 。
36、对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域 。
37、练习：若√x为实数 ， 则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞]C．[0 ， ＋∞） D．[－5，＋∞）（答案：D） 。
38、 六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域 。
39、例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域 。
40、点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象 。
41、解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)y= 3 (-1
42、显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞] 。
43、点评：分段函数应注意函数的端点 。
44、利用函数的图象求函数的值域 ， 体现数形结合的思想 。
45、是解决问题的重要方法 。
46、求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域 。
47、 七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 。
48、例1:求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域 。
49、点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性 ， 从而确定函数的值域 。
50、解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝ 。
51、点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域 。
52、练习：求函数y=3+√4-x 的值域 。
53、(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法以新变量代替函数式中的某些量 ， 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域 。
54、例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域 。
55、点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域 。
56、解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1) 。
57、于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝ 。
58、点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域 。
59、这种解题的方法体现换元、化归的思想方法 。
60、它的应用十分广泛 。
61、练习：求函数y=√x-1 –x的值域 。
62、（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法根据函数的结构特征 ， 赋予几何图形 ， 数形结合 。
63、例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域 。
64、点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域 。
65、解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形 。
66、设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。
67、由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5 。
68、当A、K、C三点共线时取等号 。
69、∴原函数的知域为｛y|y≥5｝ 。
70、点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质 ， 直观明了、方便简捷 。
71、这是数形结合思想的体现 。
72、练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域 。
73、（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域 。
74、例4:已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域 。
75、点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数 ， 代入原函数 。
76、解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1 。
77、当k=－3/5时 ， x=3/5,y=－4/5时，zmin=1 。
78、函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件 ， 将条件转化为比例式，通过设参数 ， 可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识 。
79、练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域 。
80、（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域 。
81、点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和 。
82、解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1) 。
83、∵1/(x+1)≠0，故y≠3 。
84、∴函数y的值域为y≠3的一切实数 。
85、点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法 。
86、练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域 。
87、（答案：y≠2） 十二．不等式法例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域 。
88、点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式 。
89、解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知 x/(1-x)＞01-x≠0 解得，0＜x<1 。
90、∴函数的值域（0，1） 。
91、点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域 。
92、不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛 。
93、是数学解题的方法之一 。
94、以下供练习选用：求下列函数的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1) 。
95、 （y>1或y<0）注意变量哦~
推荐阅读
- 舞龙的由来 舞龙的由来绘本
- 关于联合船代的基本详情介绍 联合船代
- 关于闪亮的风采简述 闪亮的风采
- 形容聚的成语有哪些
- 锅包肉是什么地方的菜 锅包肉是什么地方的菜
- 白核龙眼 白龙眼肉的功效
- 三国演义诸葛亮 三国演义诸葛亮的故事
- 七夕节的由来和风俗作文 七夕节的由来和风俗
- 含磷洗衣粉中的什么是造成水体富氧营养化的罪魁祸首
- 关于温柔的陷阱简述 温柔的陷阱