从1到100的加法(从1到100加法的几种技巧)
有一个广为流传的故事，说著名数学家高斯有一个懒惰的老师 。所谓老师是想让孩子忙起来，好让他午睡，于是让全班同学把数字1加到100 。
高斯回答他:5050 。速度很快，老师怀疑作弊，但高斯肯定没有！手动将1加到100是笨拙的，高斯找到了一个公式来避免这个问题:
下面分享一些关于这个结果的解释，真正直观的理解一下 。对于这些例子，我们将把1加到10，然后看看如何把它应用到1到100(或1到任何数) 。
1:匹配数字
配对数字是解决这个问题的常用方法 。不要将所有数字都写在一列中，而是按如下方式排列:
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
有一个有趣的模式:每列的总和是11 。随着上一行数字的增加和下一行数字的减少，每列的总和保持不变 。
因为1和10(我们的n)配对，所以可以说每一列都有(n+1) 。我们有多少对，我们有2个相等的行，我们有n/2对 。
这是上面高斯的公式 。
奇数项怎么办？
啊，我很高兴你提到它 。如果我们把数字1到9相加呢？我们没有偶数的物品来配对 。
让我们把9加到数字1上，而不是从1开始，让我们从0开始计数:
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数，我们获得了一个“额外项”(总共10个)，因此我们可以获得偶数行 。然而，我们的公式看起来会有所不同 。
请注意，由于0和9是分组在一起的，所以每列之和是N(而不是N+1)；和以前一样)；我们在2行中有n +1个项目，总共(n+1)/ 2对(而不是在2行中正好有n个项目，总共n/2对) 。如果您插入这些数字，您将得到:
和以前一样的配方！同一个公式对奇数和偶数都有效！
2:使用两条线 。
上面的方法是有效的，但是你对奇数和偶数的处理是不同的，需要分别处理 。有没有更好的办法？是的 。
让我们把它们写成两行，而不是绕圈子:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
请注意，我们有10对，每对加起来是10+1，每列的总数是11 。
以上所有数字的总和是
但是我们只想要一行的和，不是两行 。所以我们把上面的公式除以2得到:
这很酷(像数字线一样酷) 。它适用于奇数或偶数的相同项目！
3.做一个长方形 。
这是一种解释旧配对的新方法 。不同的解释对不同的人更有效，我倾向于这一种 。假设我们用beans(用X表示)代替写数字 。我们想在2到3个豆子中加入1个豆子…一直到5个豆子 。
当然，我们可以选择10个或100个豆子，但5个也行 。我们如何计算三角形中豆子的数量？
嗯，总和明显是1+2+3+4 +5 。但是让我们换个角度来看 。假设我们镜像三角形(我将使用“O”表示镜像bean)，然后翻转它:
很酷吧 。变成一个矩阵团队 。请看矩阵的最下面一行 。它有五个X和一个O 。在前一行中，1个X(共4个)减少，1个O(共2个)增加 。就像配对一样，一边在增加，一边在减少 。
现在解释一下:我们总共有多少颗豆子？这是矩形的面积 。
我们有n行(我们没有改变矩形的行数)，我们集合的宽度是(n+1)个单位，因为1个“O”和所有的“X”配对 。
请注意，这一次，我们不管n是奇数还是偶数，总面积公式都是一样的 。如果n是奇数，则每行的项目数是偶数(n+1) 。
但是，我们当然不要总面积(X和O的个数)，只要X的个数，既然我们把X翻倍得到O，那么X本身只占总面积的一半:
我们又回到了原来的公式 。同样，三角形中x的个数= 1+2+3+4+5，或者1到n的和 。
技术:平均
我们都知道
平均值=总数/数量
我们可以把它改写成
总数=平均数*数量
所以，我们来算一下总和 。如果我们有100个数字(1…100)，那么显然我们有100个项目 。
为了得到平均值，请注意所有的数字都是平均分布的 。每一个大数字的另一端都有一个小数字 。我们来看一个小插曲:
1 2 3
平均值为2 。2已经在中间了，1和3“抵消”了，所以他们的平均值是2 。
对于偶数个项目
1 2 3 4
2到3之间的平均值是2.5 。
注意，在这两种情况下，平均值的最左边是1，而最右边是n，因此，我们可以说，整个集合的平均值实际上只是1和n: (1+n)/ 2的平均值 。
把它放在我们的公式里 。
看啊！我们有第四种方式来思考我们的公式 。
为什么这很有用？
三个原因:
1)快速添加数字可能对预测有用 。
请注意，该公式扩展为:
1000加1 。假设你的网站每天增加1个粉丝，那么在1000天内，你的访客总数是多少？由于1000的平方等于100万，我们将获得100万/2+1000/2 = 500500次访问 。
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