等差数列公式都有哪些 等差数列公式


等差数列公式(等差数列公式都有哪些)
等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示 。
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
和=(首项+末项)×项数÷2
通项公式
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)以上n均属于正整数.推论1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.若m+n=2p,则am+an=2ap4.其他推论和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+(项数-1)×公差推论3证明若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d同理得,ap+aq=2a1+(p+q-2)d又因为m+n=p+q ;a1,d均为常数所以若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq注:1.常数列不一定成立2.m,p,q,n大于等于自然数等差中项在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.
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