圆周率公式（有哪些计算圆周率的神奇公式？）
说起圆周率π ， 很多人就想到祖冲之老爷子的割圆术 。
说实话 ， 祖大人也挺无奈的 ， 从我们小学就开始割圆 ， 一直割到大学还在割 。
但割圆术只适合手算 ， 如何用电脑算π呢？
泰勒展开泰勒展开在科学计算中简直有着匪夷所思的变态威力 。
之前我有一篇文章泰勒为何要展开？ 泰勒公式有什么神奇作用？介绍了什么是泰勒展开 ， 它可以把复杂函数转换成加减乘除 ， 比如sinx：
之所以要展开 ， 是因为通用计算机本质上只能计算加减乘除 。
用泰勒展开计算π首先想到的思路就是 ， 反三角函数 ， 根据定义有：
那么 ， 接下来的问题就是 ，
如何计算arctan(1)
有人说 ， 直接调用C语言库函数atan(double,double)不就行了 。
确实 ， 这可以完成计算 ， 然而 ， 这是一种令人不齿的开挂行为 ， 就好像我问怎么跑完马拉松 ， 你说你开车一溜烟就跑完了一样 。
库函数是别人写好的 ， 我们现在是思索如何实现计算 ， 而不是考虑如何调用 。
至此 ， 我们只好请出祖传配方 ， 把arctan(x)进行泰勒展开：
然后 ， 令x = 1 ， 得到：
格雷戈里-莱布尼茨公式
它被称为莱布尼茨级数 ， 也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数 ， 用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里 。
看起来很吊是不是······
但是啊但是 ， 还不够吊 ， 因为问题还没完：
这个级数收敛极慢 。
比如 ， 算到+4/9 ， 也就是前五项 ， 结果仅为3.3396 ， 误差有0.2之多 。
它要到算500000项之后 ， 才会精确到小数点后五位：
就算电脑也算得太累了 。
何况莱布尼兹（1646年7月1日－1716年11月14日）当年是没有电脑的！
加快收敛于是 ， 人们尝试改进 ， 希望能快点计算 。
英国数学家梅钦在1706年用上面的级数 ， 发掘了一个可以快速收敛的公式：
配合上面arctan(x)泰勒展开 ， 梅钦依据此公式（没有电脑） ， 把圆周率计算到小数点后一百多位 。
英国数学家威廉·谢克斯花15年的时间以此计算到小数点后707位 ， 不过在第528位时出错 ， 因此后面的都不正确了 。
微微杯具就是了 。
神奇公式现代有了电脑 ， 我们希望更快的收敛速度 ， 因此科学家在寻找新的级数 。
历史总是留给吊人的 ， 也总是会生产一些吊人的 。
比如：
拉马努金公式
这玩意被称为拉马努金公式 ， 是印度科学家拉马努金发明的 。
第一位用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀 ， 他在1985年计算了小数点后一千七百万位 。
收敛再快一点？还有楚德诺夫斯基公式：
楚德诺夫斯基公式
楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（10?）位 ， 法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位 ， 亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位 。
【有哪些计算圆周率的神奇公式？ 圆周率公式】
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