香农采样定理(香农理论的通俗解释)通信M监控2018-12-16 17:33:42
【香农定理通俗解释 香农采样定理】【通信技术基础第八讲】
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我们看到和听到的世界是连续的 。亮度、暗度、高度、大小、速度...都是持续的变化 。如果把这些变化画在坐标轴上 ， 就会变成连续的信号 ， 教科书上称之为模拟信号 。然而 ， 我们的电子设备正在处理0-1信号 。本文提到的采样定理是模拟信号和数字信号之间的桥梁 。
图片:网络；声音数字化过程和恢复过程
如上图所示 ， 一个同学的唱歌声音被麦克风录了下来 ， 是一个连续的模拟信号 。然后通过声卡转换成数字信号 ， 可以存储和计算 。如果你需要听这个声音 ， 那就用声卡恢复 。
所以我们不禁要问 ， 模拟信号如何数字化 ， 数字化后能不能不失真地恢复？
下图告诉我们 ， 模拟信号m(t)需要经过采样、量化和编码才能成为数字信号 ， 然后在信道中传输 。其中 ， 采样是第一步 ， 也是至关重要的一步 。
图片:网络；模拟信号数字化
如果让孩子解决这个问题 ， 他们也会认为对于一条连续的曲线 ， 如果我在里面画一些点 ， 这些点会不会变成离散的信号？然后我们将其量化并编码成数字信号 。没错 ， 我们这篇文章想说的是 ， 如何采样 ， 以什么频率采样？
图片:网络；“过滤”模拟信号
冲激抽样我们之前研究过脉冲函数 ， 我们把脉冲函数乘以函数f(t)得到脉冲处的函数值 ， 我们当时称之为“滤波”特性 。是的 ， 这是取样 。
假设函数为f(t) ， 采样函数为p(t) ， 周期脉冲函数 ， 现在我们用p(t)对f(t)进行采样 ， 采样结果为fs(t) 。这三个函数的频域表达式分别为F(w)、P(w)和Fs(w) 。
信号f(t)的傅里叶变换为F(w) ， 最大频率为Wm 。采样函数p(t)的傅里叶系数为Pn ， 傅里叶变换为P(w) ， 则fs(t)=f(t)*p(t) ， 其傅里叶变换为Fs(w) 。在这种情况下 ， 采样信号fs(t)由一系列脉冲函数组成 ， 每个脉冲函数的间隔为Ts ， 强度等于连续信号的采样值f(nTs) ， 如上图所示 。
周期信号的傅里叶变换
我们用周期脉冲信号来采样原始信号？周期间隔Ts是如何确定的？如果间隔太大 ， 似乎会丢失太多信息；如果间隔太小 ， 是不是信息又有点多余了？
采样频率选择稀疏点？还是更密集？
时域抽样定理如果频谱仅占-Wm~Wm的范围 ， 则频率受限的信号f(t)可以由等间距的采样值唯一表示 。并且采样间隔必须不超过1/2fm ， Wm=2**fm ， 或者最低采样频率为2fm 。即Ws≥2Wm 。
通常我们的最低采样频率叫做fs=2fm ， 奈奎斯特频率 ， 最大允许采样间隔Ts=/Wm=1/2fm叫做奈奎斯特间隔 。
图片:Wiki；不同采样频率fs引起的波形波动
因此 ， 这就是著名的香农采样定理 ， 也称为奈奎斯特采样定律 。为什么还有另一种香味？
采样定理最早由美国电信工程师h .奈奎斯特于1928年提出 ， 因此被称为奈奎斯特采样定理 。1933年 ， 苏联工程师Kotelnikov首次将这个定理严格公式化 ， 因此在苏联文献中被称为Kotelnikov采样定理 。1948年 ， 信息论的创始人C.E .香农明确解释了这个定理 ， 并正式引用为定理 ， 因此在很多文献中也被称为香农抽样定理 。
抽样定理
采样频率的选择在时域上很难判断 ， 虽然我们一般认为采样频率越密集越好 。但是我们从另一个角度来看频域 。如果我们得到一个完整的F(w) ， 那么根据傅里叶逆变换 ， 我们可以得到一个完整的f(t) 。好的 ， 所以信号被我们恢复了 。
由于采样信号fs(t)的频率是根据采样频率fs左右偏移的 ， 如果这个fs小于fm的两倍 ， 那么在偏移的过程中波形必然会相互影响 ， 从而频域中的波形会失真 。我们用失真的波形来还原f(t) ， 势必与现实不符 。(图中显示为角频率w)
从频域来看 ， 采样定理很明显 ， 就是防止波形叠加失真 。
压缩感知班长在学校的时候 ， 压缩感知的研究内容非常流行 。实际上 ， 当信号满足一定条件时 ， 我们不需要以两倍的频率进行采样 。即当信号稀疏或可压缩时 ， 我们可以通过线性投影得到信号的压缩表示 ， 得到的数据可以重构出无失真或低失真的原始数字信号 。
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