解答：由在上是减函数得
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，
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。∵
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，
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0，1 。
又因为是偶函数，∴只有当
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时符合题意，故
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。
于是
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，
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。
当
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且
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时，为非奇非偶函数；
当
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且时，为奇函数；
当且
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时，为偶函数；
当且时，为既奇又偶函数 。
例6、已知幂函数
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在
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上是增函数，且在定义域上是偶函数 。
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数
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。问是否存在实数
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，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出
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的值；若不存在，请说明理由 。
分析：之一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值 。第二问可根据复合函数单调性的规律来解 。
解答：（1）∵幂函数
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在上是增函数，∴
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∴
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又
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，∴
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∵在定义域上是偶函数，∴只有当
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时符合题意，故 。
（2）由，则
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。
假设存在实数，使得满足题设条件 。令
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，则
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。
∵在上是减函数，∴当
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时，
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；当
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时，
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。
若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则
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在
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上是减函数，且在
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上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是
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即
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，
∴
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。
故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数 。
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