1、幂函数的概念
一般地,函数
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叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使
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有意义的值的 ***。
例1、已知幂函数
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,且当
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时
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为减函数 。求幂函数的解析式 。
分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质 。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键 。
解答:由于
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为幂函数,
所以
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,解得
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,或
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。
当时,
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,
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在上为减函数;
当时,
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,
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在上为常函数,不合题意,舍去 。
故所求幂函数
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的解析式为
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。
2、幂函数的图象和性质
图象:
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性质:
(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点;
(2)如果
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,则幂函数的图象过点
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和,并且在区间
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上是增函数;
(3)如果
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,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数 。在之一象限内,当从
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趋向于原点时,图象在
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轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴;
(4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数 。
例2、比较
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,,
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的大小 。
分析:先利用幂函数
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的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小 。
解答:
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而在上单调递增,且
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,
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。故
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。
例3、若函数
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在区间
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上是递减函数,求实数m的取值范围 。
分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题 。
函数
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是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是
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