|解析函数y=(x+3)^2(3x+19)^3的主要性质
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主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质 ， 并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间 ， 并简要画出函数y=(x+3)^2(3x+19)^3示意图的过程与步骤 。
※.函数定义域根据函y=(x+3)^2(3x+19)^3特征 ， 可知函数自变量x可以取全体实数 ， 即函数的定义域为：（-∞ ， +∞）
※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法 。
∵y=(x+3)^2(3x+19)^3 ，
∴y'
=2(x+3)(3x+19)^3+(x+3)^2*9*(3x+19)^2 ，
=(x+3)(3x+19)^2(6x+38+9x+27)
=(x+3)(3x+19)^2(15x+65)
※.取对数求导法 。
∵y=(x+3)^2(3x+19)^3 ， 取导数有：
∴lny=ln(x+3)^2(3x+19)^3即：
lny=2ln(x+3)+3ln(3x+19)两边同时对x求导：
y'/y=2/(x+3)+9/(3x+19)
y'=y[2/(x+3)+9/(3x+19)
y'=(x+3)^2(3x+19)^3[2/(x+3)+9/(3x+19)
y'=(x+3)(3x+19)^2[2(3x+19)+9(1x+3)
y'=(x+3)(3x+19)^2(15x+65).
令y'=0 ， 有x+3=0 ， 15x+65=0 ， 即：
x1=-3 ， x2=-13/3.
(1).当x∈(-∞ ， -13/3) ， (-3+∞)时 ，
dy/dx>0此时函数为增函数 。
(2).当x∈[-13/3 ， -3
时 ，
dy/dx<0此时函数为减函数 。
※.函数的凸凹性∵y'=(x+3)(3x+19)^2(15x+65)
∴y''=(3x+19)^2(15x+65)+(x+3)[6(3x+19)(15x+65)+15(3x+19)^2
=(3x+19)^2(15x+65)+(x+3)(3x+19)[6(15x+65)+15(3x+19)
=(3x+19)[(3x+19)(15x+65)+6(x+3)(15x+65)+15(x+3)(3x+19)
=(3x+19){(15x+65)[1(3x+19)+6(x+3)
+15(x+3)(3x+19)
=(3x+19)(180x^2+1560x+3260)
=20(3x+19)(9x^2+78x+163).
令y''=0 ， 则3x+19=0 ， 或9x^2+78x+163=0 ， 即：
x3=-19/3≈-6.3x4=(-13-√6)/3≈-5.14
x5=(-13+√6)/3≈-3.51
此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：
(1).当x∈(-∞-6.33)(-5.14-3.516)时 ， y''<0此时函数y为凸函数 。
(2).当x∈[-6.33-5.14
[-3.516+∞) 时 ， y''>0此时函数y为凹函数 。
【|解析函数y=(x+3)^2(3x+19)^3的主要性质】
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