数学|十大基础数学证明，“简单”的蜂窝猜想证明，花了2000多年的时间欧拉|三维空间

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数学爱好者说，一个问题或定理的文本越短，它的解或证明越长，这个问题或定理就越漂亮。数学哲学家和历史学家说，定理（作为猜想）被证明的时间越长，它对数学的发展以及对数学本质和基础的探究就越重要。

数学史证明他们在这方面是正确的。为了解决这些猜想，数学家们已经挣扎了几十年，甚至几百年，几千年。他们被敦促把现有的不同性质、结构和语言的数学理论联系起来，甚至创造出比这些猜想更复杂的新理论。随着新的联系、结构、概念框架和内容的增加，它们促进了数学本身和科学的适用性的增加。
这篇文章，我列出了10个基于基础数学的猜想——即在基础代数、数论、欧几里得几何和基本几何拓扑中。这些猜想都是经过至少几十年才被证明。
Abel-Ruffini定理（25年）

也被称为阿贝尔不可能定理，它表明五次或更高次的一般多项式方程不存在一般代数解（即根式解）。该猜想起源于1799年高斯的研究，同年保罗·鲁菲尼首次尝试解决该猜想。然而，鲁菲尼的解对于当时的伟大数学家（包括柯西）来说并不是令人信服的，因为使用的激进式的定义是不完整的。
N. H.阿贝尔被认为是该猜想的证明者（1824年）。他的证明是基于伽罗瓦理论的一些结果；然而，这个理论在证明的时候还没有具体化。几年后，在J.刘维尔的合著下，伽罗瓦的理论发表了，并被公认为在方程理论方面带来了重大发现。
1963年， V. Arnold提供了Abel-Ruffini定理的拓扑证明，奠定了拓扑伽罗瓦理论的基础。
希尔伯特的第17个问题（27年）

希尔伯特在1900年提出了著名的“23个数学问题” ，其中第十七个问题是：

给定一个只在实数上取非负值的多变量多项式，这个多项式能被表示为有理函数的平方和吗？

这个问题起源于1885年H. Minkowski（闵可夫斯基）的博士论文答辩，他认为存在着实多项式，它们在整个R^n上是非负的，不能写成实多项式的有限平方和。
希尔伯特在1893年解决了n = 2的特殊情况， E. Artin在1927年用有序域的Artin- schreier理论肯定地解决了一般问题，并应用于代数群理论和模型理论。
费马小定理（43年）

这个猜想最早是由P·德·费马在1640年写给他朋友的信中提出的，它说，如果p是素数，那么对于任何整数a ，整数a^p - a是p的倍数。
在组合、多项式、动力系统、模运算或群论项中，这个定理得到了一些证明。欧拉在1736年首次发表了一个证明（用模运算）。然而，在1683年之前，莱布尼茨在一份未发表的手稿中留下了同样的证明。该定理是数论的一个基本结论，是一个重要的质数检验。这个定理的一个直接推广是数论中的欧拉定理。这一定理最相关的理论应用是在群论中；至于实际应用，其中一个是密码学。