马努|印度数学天才拉马努金，极为巧妙地解决了一个无限嵌套的数学问题
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1911年 ， 印度数学天才斯里尼瓦萨-拉马努金（ Srinivasa Ramanujan）在《印度数学会杂志》上提出了上述问题（如图） 。几个月之后 ， 他提供了一个解决方案 。在这篇文章中 ， 我们将讨论拉马努金的解决方案 ， 同时探索一个基于微积分的方法来解决这个问题 。所以 ， 让我们直接深入探讨吧 。
声明
但首先 ， 让我们明确说明几件重要的事情 。
- 我们将在上面给出的数列收敛的假设下开始 。严格地说 ， 我们应该先证明这个数列的收敛性 ， 然后再求它的极限 。然而 ， 为了简单起见 ， 我们认为数列的收敛是理所当然的 ， 只关注于求极限 。
- 下面介绍的解并不是拉马努金在杂志上提供的精确解 。相反 ， 它是一个简化版本 ， 目的是为了抓住拉马努金解的要点 。
拉马努强的解
请注意 ， 对于任何非负实数x ， 我们有：
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现在 ， (x+2)又可以写成((x+1)+1) ， 从而得到：
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继续这个过程 ， 把(x+3)写成((x+2)+1) ， 我们得到：
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这个规律现在已经很明显了 。如果我们无限地进行这个过程 ， 我们会得到：
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现在神奇的事情来了 。插入x=2 ， 我们得到：
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就这样 ， 我们得到了答案 ， 原来只是3！就这样简单而明了 ， 的确如此 。
我们很难不对这个解决方案的天才之举感到惊讶 ， 谁会想到把一个数字表示为它的平方根会得到这样一个美丽的等式呢？
此外 ， 上述问题是更广泛的一类问题的一个极好的例子 ， 其中所提出的问题是具有更一般性质的特殊情况 。在这种情况下 ， 我们首先找到一般的恒等式 ， 然后代入合适的值来得到期望的结果 。例如：
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所以 ， 这就是拉马努金对这个问题的思路 。接下来 ， 我们继续探索基于微积分的方法来解决这个问题 。
基于微积分的解决方案
声明：我们假设存在一个可微的实值函数f ， 隐式定义为：
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同样 ， 我们在这里放弃了一些数学上的严谨性 ， 假设这样的函数存在 ， 而没有实际证明这一点 。现在 ， 我们的目标是 ， 如果这样的函数存在 ， 我们能否利用它来解决我们的原始问题？
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