数学|一个数学问题彻底改变了我对数学的看法数学

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在这篇文章中，我想讨论最早的一个问题，它完全改变了我对数学的看法。这个问题来自2009年的英国数学奥林匹克竞赛。问题内容如下。
找出所有非负整数a和b ，使得：
在研究解这个题目的方法之前，我想解释一下为什么我这么喜欢这个问题，这只需要初等水平的算术知识便能解决。我喜欢侦探小说，能够根据一些零散的信息构建一个解决方案，对我来说几乎是一种超能力。
现在回想起来，一开始我只是认为数学只是为了完成一项工作，仅此而已。无论是计算税款，还是计算建筑材料的抗拉强度，我都明白数学是有目的的，但它似乎只是关于知道正确的公式以及如何应用它。对于一些人来说，他们仍然是这样看待数学的。对我来说，现在我把每个数学问题都看成是一个谜。一个有待解决的谜团。
让我们开始解决这个问题。大多数人采取的第一步是将方程的两边平方。这是我们在解涉及平方根问题时被教导要做的事情。这也是我一开始所尝试的。
这样也许会好一点。我们减少了平方根的数量，这很好，但我们也给自己增添了另一个问题。这是这个问题教会我的第一件事。有时候，在直接应用一个看起来正确的方法之前，要问自己。

这确实是你所知道的解决这个问题的最佳方法吗？
如果这是你知道的最好的方法，这个问题的设置是否是你应用它的最佳方式？

让我在这里详细说明一下。我们所做的事情没有错。然而，在对方程进行平方运算时，我们加入了变量根号（ab）。这给我们带来了困难，因为我们现在无意中把变量a和b所提供的信息混为一谈。
如果我们首先将方程重新排列为：
然后我们可以再次对两边进行平方，这一次我们得到了：
注意，这一次我们又减少了平方根的数量，但我们又把变量a和b分开了。这似乎只是一个简单的区别，但它对我们如何进行接下来的操作有很大的影响。我们现在注意到这样一个事实，即我们新方程的所有项显然都是整数，除了2根号(2009b) 。
下面是我从这个问题中学到的第二件事，即演绎推理。既然我们知道两个整数相加或相减的结果总是一个整数，而且我们可以把方程改写为：
我们可以推断出2根号(2009b)确实是一个整数。这是一个巨大的线索。
很少有数字的平方根会得到一个整数（事实上，如果你随机选择一个数字，它具有这种性质的概率为0 ，这个事实需要另一篇文章来解释）。