数学|1983年高考数学压轴题，导数的综合应用，难住不少考生
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对于现在的高中生来说 ， 导数无疑是高中数学最难、最头疼的知识点之一 ， 而且在全国卷的数学试卷中 ， 导数通常会作为压轴题出现 。 正是知识的难度加上题目的难度让不少考生对导数产生了一种恐惧情绪 。 本文和大家分享一道30多年前的高考导数真题 ， 我们看看当时导数题究竟难不难 。
这是1983年高考理工农医类数学卷的压轴题 ， 考查导数的综合应用 ， 难住了不少的考生 。
首先来看第一问 。
由a^b＞b^a可得：blna＞alnb ， 即lna/a＞lnb/b 。 接下来构造函数f(x)=lnx/x(x＞0) ， 通过函数的单调性来解题 。
求f(x)的单调性 ， 有两个方法：一是定义法 ， 二是导数法 。 定义法计算量较大 ， 所以优先选择导数法求单调性 。
【数学|1983年高考数学压轴题，导数的综合应用，难住不少考生】先求导：f'(x)=(1-lnx)/x^2 。
因为0＜x＜e时 ， 1-lnx＞0 ， 则f'(x)＞0 ， 即此时f(x)为增函数 。
x＞e时 ， 1-lnx＜0 ， 则f'(x)＜0 ， 即此时f(x)为减函数 。
因为e＜a＜b ， 所以f(a)＞f(b) ， 即lna/a＞lnb/b ， 从而得到a^b＞b^a 。
对于这一问还可以用拉格朗日中值定理求解 。
拉格朗日中值定理：函数在[ab
上连续且在(ab)上可导 ， 那么一定存在c ， 且a＜c＜b ， 使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 。
同样构造函数f(x)=lnx/x(x＞0) ， 则f'(x)=(1-lnx)/x^2 。 根据拉格朗日中值定理可得：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a) ， 其中e＜a＜ξ＜b ， 所以ξ＞e ， 所以f'(ξ)=(1-lnξ)/ξ^2＜0 ， 所以f(b)-f(a)＜0 ， 即lnb/b＜lna/a ， 结论得证 。
再看第二问 。
由a^b=b^a可得lnb/b=lna/a ， 所以还是构造函数f(x)=lnx/x(x＞0) 。
易知当0＜x＜e时 ， f(x)为增函数 ， 而a＜1在此范围内 ， 所以如果能求出b也在此范围 ， 那么根据单调函数的自变量不同函数值也不同就可以得到a=b 。
怎么求b的范围呢？
因为0＜a＜1 ， b＞0 ， 所以a^b＜1 ， 那么b^a=a^b＜1 。 又a为正数 ， 所以有0＜b＜1 ， 也就是说ab在同一个单调区间 。 若a≠b ， 则lna/a≠lnb/b ， 即a^b≠b^a ， 与题设矛盾 ， 所以只能是a=b 。
第二问还可以这样证明 。
要证明a=b ， 我们可以假设a＜b ， 那么b=a+t(t＞0) 。 又0＜a＜1 ， 所以a^t＜1 ， (1+t/a)^a＞1 ， 即a^t＜(1+t/a)^a 。 两边同时乘以a^a ， 整理后得到：a^b＜b^a ， 这与题设条件矛盾 ， 所以a=b 。
这道压轴题的关键就是构造函数 ， 然后用函数单调性证明结论 。
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