向量|揭开矩阵分解的神秘面纱——特征分解，奇异值分解，伪逆矩阵( 三 )
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我们将特征值按降序排列，以使对角矩阵Λ唯一 。
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为了证明这种特征分解是可能的，我们稍微调整方程：
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而我们将证明AQ=QΛ为真 。
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换句话说，AQ等同于矩阵Q内的每个特征向量乘以相应的特征值 。
因此，我们已经证明了特征分解是可能的 。让我们用Numpy试试特征分解 。
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下面是输出结果：
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正交矩阵
如前所述，当矩阵A是对称的，矩阵Q中的特征向量是相互正交的 。
当我们也使所有特征向量的L2范数为1（正交）时，我们称Q为正交矩阵 。
当Q是一个正交矩阵时：
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同样地：
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因此：
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上述事实在我们讨论奇异值分解时将会有所帮助 。
让我们用Numpy计算QΛQ^T 。
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下面是输出结果：
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另外，让我们确定一下Q是一个正交矩阵 。
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下面是输出结果：
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这里我们看到了数值计算的局限性 。非对角线元素应该是0，但相反，其中一些元素是非常小的值 。
所以，到目前为止，我们处理的是方阵，因为特征分解只对方形矩阵有效 。接下来，我们将看到适用于非方形矩阵的奇异值分解 。
奇异值分解
奇异值分解对任何矩阵都有效，甚至适用于非方阵 。
假设矩阵A是m×n（m≠n），我们仍然可以将矩阵A分解如下 。
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- U是一个正交矩阵（m×m） 。
- Σ是一个对角线矩阵（m×n） 。
- V是一个正交矩阵(n×n) 。
这看起来太抽象了，可视化有助于我们理解 。
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