向量|揭开矩阵分解的神秘面纱——特征分解，奇异值分解，伪逆矩阵
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在这篇文章中，我将讨论以下内容 。
- 特征分解
- 奇异值分解
- 伪逆矩阵
这三个方面是相互关联的 。
一旦我们知道特征分解原理是什么，我们就能理解奇异值分解的原理 。一旦我们知道奇异值分解，我们就能理解伪逆矩阵 。
我们按顺序讨论以下几个方面 。
- 方形矩阵（方阵）
- 特征值和特征向量
- 对称矩阵
- 特征分解
- 正交矩阵
- 奇异值分解
- 伪逆矩阵
方形矩阵
特征分解只对方形矩阵有效 。让我们看看什么是正方形矩阵 。在方形矩阵中，行数和列数是一样的 。比如说：
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这很简单 。我们继续讨论特征值和特征向量的概念 。
特征值和特征向量
当一个正方形矩阵A和一个向量x有如下关系 。
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我们称λ为特征值，向量x为特征向量 。
以上意味着向量x与矩阵A相乘的结果与向量x与标量值λ相乘的结果相同 。
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为了找到具有特征值和特征向量的条件，我们把方程左边的东西都移动 。
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为了使矢量x不为零，(A- λI)的逆矩阵应该不存在 。换句话说，（A-λI）的行列式需要为零 。
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让我们以2x2的正方形矩阵为例来计算行列式：
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所以，(A - λI)是：
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然后我们计算行列式（我们希望它是零） 。
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因此，λ不是1就是5 。
我们来定义特征向量如下：
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我们有如下的特征值和特征向量的方程式 。
我们可以计算出λ=1的特征向量x，如下所示：
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为了满足上述条件，x1和x2是：
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尽管t可以是任何值，但我们通常会使L2范数（向量各元素的平方和然后求平方根）为1，否则就会有无限多的可能解：
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