数学|是什么让你这么肯定1+1=2的？为什么不是1？数学究竟从何而来？物理

文章图片

文章图片

文章图片

让我们从最基本的数学方程开始：
这可能是我们小时候学的第一个等式。一些人可能有模糊的记忆，我们的父母一遍又一遍地重复这个等式。等一下，你可能会抗议。这个方程有一个小问题！它不是应该是：
我想问你：你怎么知道？
这不是很明显吗？当你把一个弹珠和另一个弹珠放在一起时，你就会得到两个弹珠！这不是很明显的吗？你的父母在你小的时候没有告诉你吗？
我的回答是：但是当你把一杯水加到另一杯水里时，你最后只得到一杯水！你知道吗？
1 + 1 = 1？
根据经验主义者的观点，我们通过经验获得数学知识，似乎是通过与周围世界的互动来学习数学的。例如，我们的父母可能教我们数数，或者用家里的各种物品做简单的算术。
但正如上面的小思维实验所显示的，这种数学观似乎有一个问题，我们从世界获得的知识是不确定的。为了理解为什么会这样，我们要更仔细地研究一下我们如何学习1+1=2 。
假设一个孩子开始学习1+1=2 。首先，父母可能会在两只手上各拿一个弹珠，然后把它们放在一起，让孩子知道现在有两个弹珠。这可以用其他物体重复进行，如饼干、铅笔、数学课本...... 。
过一会儿，孩子就会开始意识到这个模式（规律），并得出（正确的?）结论：1 + 1 = 2 。在这种情况下，孩子在有限的样本容量中添加一个物体和另一个物体，然后概括他的经验，得出等式。
问题是，这种概括，也被称为归纳法，开启了错误的可能性。如果我们遵循这样的逻辑，像水杯这样的例外情况将导致我们得出非常不同的结论。
这样看来，也许，虽然我们可以通过经验来学习数学，但经验不能成为证明数学的基础。换句话说，虽然我们可以通过摆弄各种物体来了解“1 + 1 = 2”这个命题，但这并不是这个命题成立的原因。
经验主义不是最好的数学观点的另一个原因是，它不能解释我们如何获得理想和抽象实体的知识，这些实体在现实世界中实际上并不存在。例如，一条线，定义为有长无宽，在现实世界中是不可能画出来或感知到的。无论你的画有多好，即使是用电脑画的，在数学上也是不正确的，因为在某种程度上， “线”只是一系列相邻的像素，它们有宽度。如果这些数学对象在现实世界中不存在，我们怎么能仅仅通过我们的经验来想象它们呢?
由于上述原因，数学通常被看作是一个先验的学科，也就是说，相对于经验而言，它需要理性来认识它。这是因为像1+1=2这样的陈述被视为分析性的，即根据定义是真的。这就意味着， “1 + 1≠2”这一命题的否定是一种矛盾，仅仅通过思考(仅使用理性)就可以看出这一矛盾。其他例子包括 \"三角形有三条边 \"或 \"平行线永不相交\" 。结果是，我们的数学知识现在是确定的，因为说 \"1+1=1 \"或 \"一个三角形有四条边 \"在逻辑上是根本不正确的。