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数学|是什么让你这么肯定1+1=2的？为什么不是1？数学究竟从何而来？( 二 )


在柏拉图主义下 ， 数学实体是抽象的、永恒的、永不改变的 。 它们存在于形式的世界中 ， 独立于物理世界 。 当我们做数学时 ， 我们用头脑来访问这个形式的世界 ， 发现其中的真理 。 例如 ， 我们知道一个三角形有三条边 ， 因为完美的三角形就是这样存在于这个 \"形式的世界 \"中 ， 我们可以通过使用我们的思维能力来了解它 。
你可能认为这个 \"形式世界 \"的概念有点奇怪 。 但既然像完美的圆和线这样的数学实体不存在于现实世界 ， 那么它们一定存在于某个地方 。 否则我们怎么会知道它们呢？而它们存在的地方正是柏拉图主义者所说的形式世界!
【数学|是什么让你这么肯定1+1=2的？为什么不是1？数学究竟从何而来？】
这也符合数学的先验性质 ， 因为数学的合理性不在于是否能在物理世界中找到一个实体或定理 ， 而在于我们是否能在形式世界中找到它 。 例如 ， 我们并不是通过测量无数个物理三角形来证明三角形的角度之和为180° 。 相反 ， 我们使用的是一个我们可以在头脑中发现的证明 ， 使我们能够获得三角形的真理 ， 即存在于形式世界中不变的三角形 ， 其角度之和等于180度 。
此外 ， 它还解释了为什么数学是通用的 。 世界各国的人都会同意1+1=2或毕达哥拉斯定理是正确的 ， 因为数学独立于我们的思想而存在 。 这意味着 ， 我们都可以访问存在于形式世界中的同一套普遍的数学规则和实体 。 像莱布尼茨和牛顿这样的人独立开发微积分的事实 ， 也证明了这一点 。
然而 ， 正如许多人可能指出的那样 ， 这种模糊的形式世界的概念并没有真正准确地解释数学实体在哪里和如何存在 ， 以及我们如何知道它们 。 这似乎有点奇怪 ， 有一个神秘的领域 ， 像完美的线和圆这样的物体就存在 ， 等待我们以某种方式发现它们 。 这就是为什么有些人可能更喜欢以下观点：直觉主义 。
根据直觉主义的观点 ， 我们并不是在某个抽象的领域里发现数学实体 。 相反 ， 数学是由人类的思维构建的 ， 因此避免了困扰柏拉图主义者的问题 ， 即我们究竟如何得出数学命题 。
所有人都对数学有一种原始的直觉 ， 从自然数1、2、3开始......这意味着我们对数字1的含义有一种直接的确定性 ， 而且形成数字1的心理过程可以重复得到2 ， 然后是3 ， 以此类推 。 在这之后 ， 我们可以构建数学的其他领域 ， 如算术、代数和集合理论 。
这种观点之所以吸引人 ， 是因为它仍然坚持认为数学是先验的、普遍的 。 由于数学语句的构建是一种心理活动 ， 它是先验的 ， 这使我们能够确定像1+1=2这样的语句是真的 。 此外 ， 所有人类对数学都有相同的直觉 ， 这一事实使我们能够提出相同的数学并达成一致 。
此外 ， 根据一种说法 ， 数学是建构的这一论点似乎确实提供了 \"关于算术和人脑之间关系的最佳解释\" 。 现代心理学似乎支持原始数学直觉的想法 ， 我们有某些先天的范畴 ， 我们根据这些范畴来理解世界 。
然而 ， 直觉主义也有一些缺点 。 主要的问题是 ， 虽然许多定理既可以用经典方法证明 ， 也可以用直觉方法证明 ， 但直觉主义的定理通常要长得多 ， 因此不那么优雅 ， 导致许多数学家不愿意接受它 。
但优雅并不是真理的标准 ， 所以仅仅因为直觉主义不如柏拉图主义优雅而否定它并不完全是最理性的做法 。
总而言之 ， 在我比较关于我们如何获得数学知识的两种观点——柏拉图主义和直觉主义之前 ， 一个简单的思想实验显示了为什么看似直观的数学观点 ， 经验主义是站不住脚的 。

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