拉普拉斯|通过拉普拉斯变换和留数定理，展示黎曼素数计数函数的新视角( 二 ) 拉普拉斯

确定ζ(s)和Π(s)之间的关系。

利用留数定理对Π(s)进行拉普拉斯逆变换，得到π(x) 。

这种方法在x域和s域都提供了简明而优雅的解，揭示了海维塞德素数计数函数和Zeta函数之间的深刻联系。
函数的定义小于给定大小x的素数可以直观地显示在图1中，这基本上是一个阶梯式的海维塞德阶梯函数。因此，在x域，我们可以用海维塞德函数H(ln x -ln p)作为定义的基础制定素数计数函数π(x) 。

图1：海维赛德素数计数阶梯函数。

因此，我们可以正式定义实数素数计数函数π(x)为：

式(1)

其中，和是在所有质数{235...的集合上。
方程(1)似乎很简单，也很容易理解。然而，在下文中，你会惊奇地发现，这样一个基本方程如何导致了简化推导的根本转变，因为它需要更少的步骤来证明素数计数函数公式。
现在，对方程（1）中的海维塞德函数进行微分；考虑狄拉克delta函数δ（x），见图2 ，因此我们有：

式(2)

在这里，我们看到了在实现各种数学运算方面（如微分和变换），使用海维塞德函数的好处。

图2：素数狄拉克 Delta函数δ(ln x -ln p) 。

S域现在，我们可以对方程（1）中的素数计数函数进行拉普拉斯变换，将π（x）变换为Π（s），得到：

式(3)

我们还有：

式(4)

需要注意的是，在s域中新定义的素数计数函数的形式，用符号Π(s)来表示。因此，我们可以在半平面?(s)>1中，通过以下绝对收敛数列的素数之和，正式定义s域素数计数复数函数Π(s)：

式(5)

而在整个复平面内，则通过解析延拓来实现。
这里，符号Π(s)是一个新定义的函数，不应该与文献中用于不同目的的相同符号相混淆。
ζ(s)和Π(s)的关系现在，我们回顾一下黎曼zeta函数的欧拉积的对数展开，它由以下公式给出：

式(6)

因此，从式（5）和（6）中，我们发现在s域中，素数计数函数Π(s)和Zeta函数ζ(s)之间的关系，简单地给出了：

式(7)

此外，我们观察到采用海维赛德函数和s域分析的好处，它立即证明了ζ(s)和素数计数函数之间的深刻关系，因为方程式(7)揭示了ln ζ(s)是s域素数计数函数Π(s)的所有谐波之和。
现在，式（7）的逆式，由以下公式给出：

式(8)

其中μ(k)是莫比乌斯函数。
式(5)中的s域素数计数函数Π(s) ，表现出优雅的简单性。然而，它的复杂性在式（8）中被揭示出来。该函数Π(s)在s=0、s=1和ζ(s)的零点处有极点。图（3）显示了sΠ(s)的实部；沿着临界线s=1/2 ，我们也观察到了sΠ(s)的极点，它们位于ζ(s)的零点处。