拉普拉斯|通过拉普拉斯变换和留数定理，展示黎曼素数计数函数的新视角( 三 ) 拉普拉斯

式(11)

这里，拉普拉斯逆变换可以用残数定理求值，即：

式(12)

残差分析现在考虑以下表达式

式(13)

在ζ(ks)的零点处有单极点；即：
与m= 123....
单极点处的残差可按以下方法得到：

式(14)

类似地，对于s= -2m/k

式(15)

事实上，对于任何具有单零点的函数f(z) ， f′(z)∕f(z)在这些零点产生的极点上的所有残差总是1 ，如上所述。
为了评估极点s=1处的残差，我们注意到：
微分，得到：
重新排列，得到：

式(16)

因此，在单极点上的残差为：
由下面给出：
简化后，得到
因此，式（12）中的残差之和给出了：

式(17)

通过积分，我们可以得到：

式(18)

这里，我们得到与黎曼相同的结果。然而，这种方法以更少的步骤提供了更好的清晰度和连贯性。
优雅的s域形式在ζ(s)函数和素数计数函数Π(s)之间的关系上提出了一个新的视角。 Π(s)的行为需要进一步研究，可能会揭示出对素数计算的新见解。
最后，在这个新的视角下，考虑基于海维赛德函数的自然数计算函数 ?(x) ，我们可以将其定义为：